5. Systèmes linéaires
109
car 5> 468 + 2000 × 2> 001 ' 4007 et 4> 464 + 1000 × 2> 001 ' 2005= L’élimination, compte tenu du fait que 1004@2005 ' 0> 501 et 1002 0> 501 × 2003 '
2> 000 et 2005 0> 501 × 4007 ' 3> 000 conduit à
3
C
0> 001
1
1
0
2005 2003
00
2
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
2> 001
4007
3
4
D
D’où les solutions par la méthode de remontée } =1> 5 puis | =0> 4998 et
enfin { =1> 000. Dans ce cas, l’erreur relative sur | et } est de 50 %.
5.2.5 Méthode de Crout. Factorisation LU
La méthode de Crout est fondée sur la factorisation LU qui a!rme que
pour une matrice carrée D =(d lm ) d’ordre q telle que les q sous-matrices
n =
3
E
C
d 11 ··· d 1n
. . .
. . .
d n1 ··· d nn
4
F
D
soient inversibles, il existe une matrice triangulaire inférieure O =( o lm )
avec o ll =1(1 l q) et une matrice triangulaire supérieure X telles que
D = OX . Cette décomposition est unique. En particulier, toute matrice
inversible admet une factorisation OX . L’algorithme est alors le suivant :
On calcule les matrices O et X telles que D = OX par les formules
x 1m = d 1m si m =1>===>q
o l1 = d l1 @x 11 si l =1> ===> q
o ll =1
o lm =0 si m = l +1> ==> q
x lm =0si m =1> ===> l 1
x lm = d lm
l1 P
n=1
o ln x nm
olm =(d lm
m1 P
n=1
o ln x nm )@x mm
Puis, on résout le système D{ = e par la méthode de remontée en remarquant que si on pose | = X{> le système s’écrit O| = e= Le système est alors
résolu par la méthode de remontée en |. La même méthode, appliquée en
sens inverse, donne les valeurs de {.