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Méthodes directes
D’autres programmes intervertissent les lignes et les colonnes de façon à
placer en pivot le terme de coe!cient le plus élevé de la matrice : c’est la
méthode du pivot total.Àl an-ième étape, le pivot est l’élément
d
(n)
lm =m a x
s>t=n>===>q
¯
¯
¯d
(n)
st
¯
¯
¯
Exemple. Considérons le système
½
10
4 { + | =1
{ + | =2
La solution de ce système est { =1 > 0001 et | =0 > 99990. Supposons que
notre calculateur travaille avec une mantisse de trois chires significatifs.
Comme d 11 =10
4
est très petit, l’élimination conduit au système suivant
obtenu en multipliant la première équation par (10
4 ) et en ajoutant la
seconde :
½
10
4 { + | =1
9990 | = 9990
si les chires (10
4 +1 = 9999) et (10
4 +2 = 9998) sont approchés par
le même nombre 9990. La solution devient alors { =1et | =0. L’erreur
est importante pour le nombre |. En revanche, si on échange les équations
½
{ + | =2
10
4 { + | =1
et on prend pour pivot l’élément d 11 =1,o no b t i e n t
½
{ + | =2
0=999| =0=999
car les chires (10
4 +1 = 0=9999) et (2=10
4 +1 = 0=9998) sont arrondis
au même nombre 0=999. Dans ce cas, la solution est correcte ({ = | =1).
Exemple. Considérons un calculateur travaillant sur quatre chires significatifs. Soit à résoudre le système suivant
3
C
0> 001
1
1
24 > 732 2> 736
13 > 643 1> 821
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
2> 001
5> 468
4> 464
4
D
Ce système admet comme solution le triplet (1, 1, 1). En prenant comme
pivot le terme 0,001 et ne retenant pour chaque calcul que quatre chires
significatifs, on a
3
C
0> 001
1
1
0
2005 2003
0
1004 1002
4
D
3
C
{
|
}
4
D =
3
C
2> 001
4007
2005
4
D