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Méthodes directes
Exemple. Cas d’une matrice tridiagonale.S o i tD la matrice
D =
3
E
E
E
E
E
E
E
E
E
C
e 1 f 1
00 ···
0
d 2 e 2 f 2
00
0 d 3 e 3 f 3
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . . f q1
0 ··· ··· 0 d q
e q
4
F
F
F
F
F
F
F
F
F
D
Mise sous la forme OX ,l am a t r i c eD s’écrit
D =
3
E
E
E
E
E
E
E
C
10··· ··· 0
o 1 10
. . .
0 o 2
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 ···
0 o q1 1
4
F
F
F
F
F
F
F
D
3
E
E
E
E
E
E
E
C
x 1 f 1
0 ···
0
0 x 2 f 2
. . .
. . .
. . .
0 x 3
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . . f q1
0 ··· 00
x q
4
F
F
F
F
F
F
F
D
avec
o l = d l+1 @x l si l =1> ===> q 1
x 1 = e 1
x l = e l
d l f l1
x l1
si l =2> ===> q
Posons ] = X[= L’expression D[ = OX [ = \ devient O] = \ et
l’équation O] = \ s’écrit
½
} 1 = | 1
} l = | l o l1 } l1 si l =2> ===> q
L’équation X[ = ] permet alors de calculer { l =
½
{ q = } q @x q
{ l =(} l f l { l+1 )@x l si l =1>===>q 1
La méthode est aussi une méthode pour calculer le déterminant d’une matrice tridiagonale. Soit G q le déterminant d’ordre q, on vérifie par récurrence que
;
?
=
G 0 =1
G 1 = e 1
G q = e q G q1 d q f q1 G q2
Comme D = OX> on a
ghw(D)=ghw(O)ghw(X )=
q
Y
l=1
x l