FVR 111.8
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
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homomorphismes dérivables sont donc de la forme z i-t f (Az), où f est l'un
d'entre eux (supposé exister), et A une constante (complexe) quelconque.
Cela étant, si f est dérivable au point z = O, chacune des applications
x i-t f(x), y H f(iy) de R dans C est nécessairement dérivable au point O, la
première ayant comme dérivée f'(O), la seconde $'(O).
Or les dérivées des
applications x 14 eOlxe(yx), y i-t eme(Sy) au point O sont respectivement égales à
a + 2xiy et p + 2rci6, d'où les conditions ( 3 = -2xy et a = 2x6; ces conditions sont en particulier remplies par l'homomorphisme x + iy F+ exe(y/2n),
que nous désignerons provisoirement par fo. Nous allons maintenant montrer
qu'effectivement fo est dérivable au point z = 0.
En effet, il est clair que x H fo(x) et y i-t fo(iy) ont des dérivées de tout ordre;
en particulier, la formule de Taylor d'ordre 1 appliquée à ces fonctions montre
que, pour tout E > O, il existe r > O tel que, si on pose
pour lzl < r, on a 1x1 r et IyI < r, d'où
ce qui prouve que le quotient f O ( 4 - 1 - 2 tend vers O avec z, c'est-à-dire que
Z
f, admet au point z = O une dérivée égale à 1. Alors, ce qui précède prouve
que, pour tout z E @, on a
Cette propriété rapproche encore fo de la fonction ex, qui est d'ailleurs la restriction de fo à l'axe réel; pour cette raison, on pose la définition suivante:
DÉFINITION 2. - On appelle exponentielle complexe l'homomo~hisme x + iy M exe(y/2n)
de C sur C*; sa ualeurpour un nombre complexe quelconque z se note eZ ou exp z.
6. Propriétés de la fonction eZ
Le fait que z tt eZ est un homomorphisme de C dans C* se traduit par les
identités
(22)
e~ +a1 , e e ,
2 2'
e O = l ,
e-2=l/e".
On a par définition, pour tout z = x + iy
(23)
ex+ iy = e x (cos y + i sin y)