No 6
DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR 111.9
et comme ex > O, on voit que e2 a pour valeur absolue ex, pour amplitude y (modulo
2x).
La déf. 2 (III, p. 8) donne en particulier
ce qui permet d'écrire les formules qui définissent cos x et sin x sous la forme
(formules d'Euler).
Comme 2n est période principale de e ( y / 2 ~ ) ,
2xi est liériode princ@ale de eZ;
autrement dit, le groupe des périodes de es est l'ensemble des nombres 2nxi, où n
parcourt Z.
Enfin, la formule (21) de III, p. 8 s'écrit
d'où, pour tout nombre complexe a
Remarque. - Si, dans la formule (27), on restreint la fonction eaZ (a complexe) à
l'axe réel, on obtient encore, pour x réel
Cette formule permet de calculer une primitive de chacune des fonctions
Px COS Px, eax sin Px ( a et fJ réels); en effet, on a ecatiB)X = eax cos px + UC(X sin pz,
donc, d'après (28)
De la même manière, on raméne le calcul d'une primitive de xneaX cos Px, ou de
xneax sin fJx (n entier > 0) à celui d'une primitive de xne(atiD)x; or, la formule d'intégration par parties d'ordre n + 1 (II, p. 10, formule (1 1)) montre qu'une primitive
de cette dernière fonction est
En vertu des formules d'Euler, on peut d'autre part exprimer toute puissance
entière positive de cos x ou de sin x comme conibinaison linéaire d'exponentielles e'px
( p entier positif ou négatif). D'après la formule (28), on pourra donc exprimer par
une combinaison linéaire de fonctions de la forme xpeaX cos l x et xPeax sin vx, une
primitive d'une fonction de la forme xneaX (cos Px)* (sin y ~ ) ~
(n, p, r, s entiers, cr, p, y, 1,
p. réels).
Exemple. - O n a