FVR 111.10
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
d'où
( - ')" (:sin 2nx - f n ) J- sin (2n - 21% + . . .
Iox sinzn t dt = - ZZn n
1 n - 1
et e n particulier
7. Le logarithme complexe
Soit B la (< bande formée des points z = x + iy tels que - x 6 y < x; la fonction eZ prend chacune de ses valeurs une fois et une seule dans B; autrement dit,
z t+ eZ est une application bijective et continue de B sur C*; l'image par cette
application du segment (semi-ouvert) x = x,, - x 6 y < x est le cercle 1 zI = eXo;
l'image de la droite y = y, est la demi-droite (ouverte) définie par Am(z) = y,
(mod. 27~). L'image par z H eZ de l'intérieur Y, de B, c'est-à-dire de l'ensemble des
z E C tels que l9(z)l < x, est le complémentaire F du demi-axe réel négatif
(fermé) dans C; si on convient de désigner par Am(z) la mesure de l'amplitude
de z qui appartient à 6 - x, + x[, l'ensemble F peut encore être défini par les
relations - n < Am(z) < x. Comme z ++ eZ est un homomor&hisme strict de C sur
C*, l'image par cette application de tout ensemble ouvert dans 6 (donc dans C)
est un ensemble ouvert dans C* (donc dans F) ; autrement dit, la restriction de
z ++ eZ à 6 est un homéomorphisme de k sur F. On désigne par z t+ log z l'homéomorphisme de F sur 6, réciproque du précédent; pour un nombre complexe
z E F, log z est appelé la détermination principale du logarithme de z. Si z = x + iy et
log z = u + iv, on a x + iy =
d'où eu = 1 zl, et comme - rc < v < n,
v = Am(z). D'ailleurs, on a tg (v + n/2) = -x/y si y # O; on peut donc écrire
( u = l o g lzl = + l o g ( x Z +y2)
X
- A r c t g -
siy > O
Y
l u = O
siy = O
n
x
l u = -? - Arctg- siy < 0.
Y
Il est clair que log z est un prolongement à F de 1ü fonction log x définie sur
le demi-axe récl positif ouvert R:. Si z, z' sont deux points de F tcls que zz' ne
soit pas réel négatif, on a log (zz') = log z + log z' + 2~ni, où E = + 1, - 1 ou
O suivant les valeurs de Am(z) et Am(zl).
On notera qu'aux points du demi-axe réel négatif, la fonction log z n'a pas de