No 8
DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR 111.1 1
limite; de façon précise, si x tend vers xo < O et si y tend vers O en restant > O
(resp. < O), log z tend vers log lxo 1 + ni (ïesp. log lxo 1 - xi) ; lorsque z tend
vers O, /log zl croît indéfiniment.
Nous verrons plus tard comment la théorie des fonctions analytiques permet de
prolonger la fonction log z, et de définir le logarithme complexe dans toute sa généralité.
Comme log z est un homéomorphisme réciproque de e", la formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) montre qu'en tout point z E F,
log z est dérivable, et qu'on a
formule qui généralise la formule (10) de III, p. 3.
8. Primitives des fonctions rationnelles
La formule (31) permet de calculer une primitive d'une fonction rationnelle
quelconque r(x) d'une variable réelle x, à coefficients réels ou complexes. En effet,
on sait (A, VII, $2, No 2) qu'une telle fonction peut s'écrire (d'une seule manière)
comme somme d'un nombre fini de termes, qui sont:
a) soit de la forme axp ( p entier 2 O, a nombre complexe) ;
b) soit de la forme a/(x - 6)" (m entier >O, a et 6 nombres complexes).
Or, il est facile d'obtenir une primitive de chacun de ces termes:
x~ + 1
a) une primitive de axp est a -
p + 1;
a
b) si m > 1, une primitive de a/(x - b)" est (1 - m)(x - b)"-l9
c) enfin, d'après les formules (10) (III, p. 3) et (31) (III, p. 1 l), une primitive
a
de - est a. log lx - bl si b est réel, a. log (x - b) si b est complexe. Dans ce
X - b
dernier cas, si b = p + iq, on a d'ailleurs (III, p. 10, formules (30))
X - P , i 2 .
log (x - 6) = log d ( x - p)2 + q2 + i Arc tg -
4
2
Nous renvoyons à la partie de cet ouvrage consacrée au Calcul numérique,
l'examen des méthodes les plus pratiques pour la détermination explicite d'une
primitive d'une fonction rationnelle donnée explicitement.
On peut ramener au calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle:
l0 le calcul d'une primitive d'une fonction de la forme r(eax), r étant une
fonction rationnelle, a un nombre réel; en effet, par le changement de variable
u = eax, on est ramené à trouver une primitive de r(u)/u;
DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR 111.1 1
limite; de façon précise, si x tend vers xo < O et si y tend vers O en restant > O
(resp. < O), log z tend vers log lxo 1 + ni (ïesp. log lxo 1 - xi) ; lorsque z tend
vers O, /log zl croît indéfiniment.
Nous verrons plus tard comment la théorie des fonctions analytiques permet de
prolonger la fonction log z, et de définir le logarithme complexe dans toute sa généralité.
Comme log z est un homéomorphisme réciproque de e", la formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) montre qu'en tout point z E F,
log z est dérivable, et qu'on a
formule qui généralise la formule (10) de III, p. 3.
8. Primitives des fonctions rationnelles
La formule (31) permet de calculer une primitive d'une fonction rationnelle
quelconque r(x) d'une variable réelle x, à coefficients réels ou complexes. En effet,
on sait (A, VII, $2, No 2) qu'une telle fonction peut s'écrire (d'une seule manière)
comme somme d'un nombre fini de termes, qui sont:
a) soit de la forme axp ( p entier 2 O, a nombre complexe) ;
b) soit de la forme a/(x - 6)" (m entier >O, a et 6 nombres complexes).
Or, il est facile d'obtenir une primitive de chacun de ces termes:
x~ + 1
a) une primitive de axp est a -
p + 1;
a
b) si m > 1, une primitive de a/(x - b)" est (1 - m)(x - b)"-l9
c) enfin, d'après les formules (10) (III, p. 3) et (31) (III, p. 1 l), une primitive
a
de - est a. log lx - bl si b est réel, a. log (x - b) si b est complexe. Dans ce
X - b
dernier cas, si b = p + iq, on a d'ailleurs (III, p. 10, formules (30))
X - P , i 2 .
log (x - 6) = log d ( x - p)2 + q2 + i Arc tg -
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Nous renvoyons à la partie de cet ouvrage consacrée au Calcul numérique,
l'examen des méthodes les plus pratiques pour la détermination explicite d'une
primitive d'une fonction rationnelle donnée explicitement.
On peut ramener au calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle:
l0 le calcul d'une primitive d'une fonction de la forme r(eax), r étant une
fonction rationnelle, a un nombre réel; en effet, par le changement de variable
u = eax, on est ramené à trouver une primitive de r(u)/u;