FVR 111.12
FONCTIONS ÉLEMENTAIRES
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2 O le calcul d'une primitive d'une fonction de la forme f (sin ax, cos ax), où
f est une fonction rationnelle de deuxvariables et a un nombre réel; par le changement de variable u = tg ax/2, on est ramené à trouver une primitive de
9. Fonctions circulaires complexes; fonctions hyperboliques
Les formules d'Euler (25) (III, p. 9) et la définition de eZ pour tout z complexe,
permettent de prolonger à C les fonctions cos x et sin x définies dans R, en posant,
pour tout z E C
(cf. III, p. 28, exerc. 19).
Ces fonctions sont périodiques de période principale 2x; on a cos (z + 4 2 ) =
-sin z, sin (z + 4 2 ) = cos z; on vérifie également les identités
cos2 z + sin2 z = 1
COS (Z + zl) = COS z COS z1 - sin z sin z'
sin (z + z') = sin z cos z' + cos z sin z'.
Plus génkralement, toute identité algébrique entre fonctions circulaires de
variables réelles est encore vraie lorsqu'on donne à ces variables des valeurs complexes
quelconques (III, p. 27, exerc. 18).
On pose tg z = sin z/cos z si z # (2k + 1) x/2 et cot g z = cos z/sin z si x # kn;
ce sont des fonctions périodiques de période principale x.
La formule (27) (III, p. 9) montre que cos z et sin z sont dérivables dans C,
et que l'on a
D(cos z) = - sin z,
D(sin z) = cos z.
Pour z = ix (x réel), les formules (32) donnent
Il est commode de désigner par une notation particulière les fonctions réelles
qui s'introduisent ainsi; on pose
(ch x = &(ex -t e-")
(cosinus hyperbolique de x)
sh x = &(ex - e-")
(33)
(sinus hyperbolique de x)
shx ex - e-%
-
t h x = - -
(tangente hyperbolique de x) .
chx ex + e-%