FVR 111.13
On a donc, pour tout x réel
(34)
cos ix = ch x,
sin ix = i sh x.
De toute identité entre fonctions circulaires d'un certain nombre de variables
complexes zk (1 < k < n) on déduit une identité entre fonctions hyperboliques,
en remplaçant partout zk par ixk (xk réel, 1 < k < n) et utilisant les formules (34) ;
par exemple on a
ch2 x - sh2 x = 1
ch (x + x') = ch x ch x' + sh x sh x'
sh (x + x') = sh x ch x' + ch x sh x' .
Les fonctions hyperboliques permettent d'exprimer les parties réelles et
imaginaires de cos z et sin z pour z = x + iy, car
COS (X + iy) = COS x COS iy - sin x sin iy = cos x ch y - i sin x sh y
sin (x + iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x ch y + i cos sh y.
Enfin, on a
Comme ch x > O pour tout x, on déduit de là que sh x est strictement croissant dans R ; comme sh O = O, sh x a donc le signe de x. Par suite, ch x est strictement décroissante pour x < O, strictement croissante pour x > O; enfin th x est
strictement croissante dans R. On a en outre
lim s h x = - c o ,
lim s h x = + c o
x-r - w
x-t + 00
lirn chx = lim chx = +co
x-r-a3
% - + + a 3
lirn t h x = -1,
lirn t h % = + l
x - r - w
x - r + w
(fig. 8 et 9).
On désigne parfois par Arg sh x la fonction réciproque de sh x, qui est une
application strictement croissante de R sur R ; cette fonction s'exprime d'ailleurs
à l'aide du logarithme, car de la relation x = sh y = 2 (eu - e-Y), on tire
e 2 Y - 2xeY - 1 = O, et comme eY > O, ey = x + d x 2 + 1, c'est-à-dire
Argshx = log (x + d x 2 + 1).
De même, on désigne parfois par Arg ch x la fonction réciproque de la restriction de ch x à (O, +CO(; c'est une application strictement croissante de (1, +CO(
sur (0, + co[; on montre comme ci-dessus que
Arg ch x = log (x + d x 2 - 1).