No 5
DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLEMENTAIRES
FVR 111.7
croissante; on désigne par Arc tg x sa fonction réciproque, qui est une application strictement croissante de R sur ) - n/2, + x/2( (fig. 7) ; on a
7 t
X
lim Arc tg x = - -,
lim Arc tg x = -
X-b - Ca
2
x - c m
2
Fig. 7
et par application de la formule de dérivation des fonctions réciproques et de la
formule (15) de III, p. 5, on a
5. L'exponentielle complexe
O n a déterminé (TG, VIII, p. 8) tous les homomorphismes continus du groupe
topologique (additif) C des nombres complexes sur le groupe topologique
(multiplicatif) C* des nombres complexes #O; ce sont les applications
où a, p, y, S sont quatre nombres réels assujettis à la seule condition a8 - py # O.
Proposons-nous de déterminer ceux de ces homomorphismes z » f (z) qui sont
dérivables dans 6 . Remarquons d'abord qu'il suffit que f soit dérivable au point
z = O; en effet pour tout point z E 6, on a f ( 2 + h) - f ( 4 =f(z) f ( 4 - 1 .
f
h
y
si f'(0) existe, il en est donc de même de f'(z), et on a f '(2) = af(z), avec
a = f'(0). D'autre part, si g est un second homomorphisme dérivable, tel que
gf(z) = bg(z), on a g(az/b) = f ( z ) , car on - constate -
-
aussitôt _que le quotient
g(az/b)/f(z) admet p;lrtout une dérivée nÜlle et est égal à 1 pour z = 0; tous les