DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR 111.5
Nous montrerons au 3 2 (III, p. 23) comment on peut calculer des valeurs aussi
approchées qu'on veut du nombre x.
On a donc la formule
On voit que cette formule se simplifie lorsque a = 2x; c'est pourquoi on
utilise exclusivement en Analyse les fonctions circulaires relatives à la base 2x; on
convient d'omettre la base dans la notation de ces fonctions; sauf mention
expresse du contraire, les notations cos x, sin x et tg x désigneront donc respectivement cos,, x, sin,, x et tg,, x. Avec ces conventions, la formule (12), où on fait
a = Zx, s'écrit
(13)
D(cosx + isinx) = cos
ce qui équivaut à
(14)
D(cos x) = -sin x,
D (sin x) = cos x,
d'où l'on tire
A côté des trois fonctions circulaires cos x, sin x et tg x, on emploie encore, dans la
pratique du calcul numérique, les trois fonctions auxiliaires: cotangente, skcante et
cosécante, définies par les formules
1
cotg x = -
1
sec x = -
1
Y
cosec x = -'
tg x'
COS x
sin x
Rappelons (TG, VIII, p. 10) que l'unité d'angle correspondant à la base Zn est
appelée radian.
4. Fonctions circulaires réciproques
La restriction de la fonction sin x à l'intervalle (-n/Z, +x/2) est strictement
croissante; on désigne par Arc sin x sa fonction réciproque, qui est donc une
application strictement croissante et continue de l'intervalle (- 1, + 1) sur
(- 4 2 , + x/2) (fig. 6). La formule de dérivation des fonctions réciproques (1,
p. 17, prop. 6) donne la dérivée de cette fonction
D(Arc sin x) =
1
cos (Arc sin x)'
Comme - 4 2 < Arc sin x < x/2, on a COS (Arc sin x) 2 O, et comme
sin (Arc sin x) = x,