FVR 111.4
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
4 1
Si u est une fonction numérique admettant une dérivée au point x,, et telle que
21(xO) > 0, la fonction log u admet au point x, une dérivée égale à u'(x,)/u(x,).
En particulier, on a D(log 1x1) = l/IxI = 11% si x > O, et
si x < O; autrement dit, on a D(1og 1.~1) = l/x quel que soit x # O. O n en
conclut que si, dans un intervalle 1, la fonction numérique u n'est pas nulle et
admet une dérivée finie, log lu(x) 1 admet dans 1 une dérivée égale à uf/u; cette
dérivée est dite dérivée logarithmique de u. Il est clair que la dérivée logarithmique
de lula est auf/u, et que la dérivée logarithmique d'un produit est égale à la
somme des dérivées logarithmiques des facteurs; l'application de ces règles permet souvent de calculer plus rapidement la dérivée d'une fonction. Elles redonnent en particulier la formule
(11)
D(xE) = ax"-l
( a réel quelconque, x > 0)
déjà démontrée par une autre voie (II, p. 19).
Exemple. - Si u est une fonction f O dans u n intervalle 1, v une fonction numérique
quelconque, on a log(lulU) = u. log lu/, donc si u et v sont dérivables
1
21'
- D(lulv) = u'log Iicl + u-a
14V
3. Dérivées des fonctions circulaires; nombre n
O n a défini, en Topologie générale (TG, VIII, p. 8) l'homomorphismc continu x i-t e(x) du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U des nombres
complexes de valeur absolue 1; c'est une fonction pCriodique de période principale 1, et on a e(+) = i. O n sait (lm. cit.) que tout homomorphisme continu de
Pi sur U est de la forme x tt e(x/a), et qu'on pose cos, x = &?(e(x/a)), sin, x =
9(e(x/a)) (fonctions trigonométriques, ou fonctions circulaires, de base a) ; ces dernières
fonctions sont des applications continues de R dans (- 1, + 1)' admettant a pour
période principale. O n a sin,(x + a/4) = cos, x, cos,(x + a/4) = -sin, x, et la
fonction sin, x est croissante dans l'intervalle ( - a/4, a/4).
PROPOSITION 3. -La fonction e(x) admet en tout point de R une dérivée égale à ànie(x),
ozi n est une constante > 0.
En effet, le th. 1 de 111, p. 1, appliqué au cas où E est le corps C des nombres
complexes, donne la relation ef(x) = er(0)e(x); en outre, comme e(x) a une
norme euclidienne constante, ef(x) est orthogonal à e(x) (1, p. 15, Exemple 3) ; on
a donc et(0) = ai, avec a réel. Gomme sin, x est croissante dans (-$, 41, sa
dérivée pour x = O est 3 0, donc a
O, et comme e(x) n'est pas constante,
a > O; il est d'usage de désigner le nombre a ainsi défini par la notation Zn.
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
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Si u est une fonction numérique admettant une dérivée au point x,, et telle que
21(xO) > 0, la fonction log u admet au point x, une dérivée égale à u'(x,)/u(x,).
En particulier, on a D(log 1x1) = l/IxI = 11% si x > O, et
si x < O; autrement dit, on a D(1og 1.~1) = l/x quel que soit x # O. O n en
conclut que si, dans un intervalle 1, la fonction numérique u n'est pas nulle et
admet une dérivée finie, log lu(x) 1 admet dans 1 une dérivée égale à uf/u; cette
dérivée est dite dérivée logarithmique de u. Il est clair que la dérivée logarithmique
de lula est auf/u, et que la dérivée logarithmique d'un produit est égale à la
somme des dérivées logarithmiques des facteurs; l'application de ces règles permet souvent de calculer plus rapidement la dérivée d'une fonction. Elles redonnent en particulier la formule
(11)
D(xE) = ax"-l
( a réel quelconque, x > 0)
déjà démontrée par une autre voie (II, p. 19).
Exemple. - Si u est une fonction f O dans u n intervalle 1, v une fonction numérique
quelconque, on a log(lulU) = u. log lu/, donc si u et v sont dérivables
1
21'
- D(lulv) = u'log Iicl + u-a
14V
3. Dérivées des fonctions circulaires; nombre n
O n a défini, en Topologie générale (TG, VIII, p. 8) l'homomorphismc continu x i-t e(x) du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U des nombres
complexes de valeur absolue 1; c'est une fonction pCriodique de période principale 1, et on a e(+) = i. O n sait (lm. cit.) que tout homomorphisme continu de
Pi sur U est de la forme x tt e(x/a), et qu'on pose cos, x = &?(e(x/a)), sin, x =
9(e(x/a)) (fonctions trigonométriques, ou fonctions circulaires, de base a) ; ces dernières
fonctions sont des applications continues de R dans (- 1, + 1)' admettant a pour
période principale. O n a sin,(x + a/4) = cos, x, cos,(x + a/4) = -sin, x, et la
fonction sin, x est croissante dans l'intervalle ( - a/4, a/4).
PROPOSITION 3. -La fonction e(x) admet en tout point de R une dérivée égale à ànie(x),
ozi n est une constante > 0.
En effet, le th. 1 de 111, p. 1, appliqué au cas où E est le corps C des nombres
complexes, donne la relation ef(x) = er(0)e(x); en outre, comme e(x) a une
norme euclidienne constante, ef(x) est orthogonal à e(x) (1, p. 15, Exemple 3) ; on
a donc et(0) = ai, avec a réel. Gomme sin, x est croissante dans (-$, 41, sa
dérivée pour x = O est 3 0, donc a
O, et comme e(x) n'est pas constante,
a > O; il est d'usage de désigner le nombre a ainsi défini par la notation Zn.