No 2
DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR 111.3
donc le logarithme népérien de x. Avec cette notation, la prop. 1 s'exprime par
l'identité
(4)
D(ax) = (log a)ax
valable pour a quelconque > O (puisque pour a = 1, log a = 0).
Cette relation montre que ax a des dérivées de tout ordre, et qu'on a
(5)
Dn(ax) = (log a)nax.
En particulier, pour tout a > O et # 1, on a D2(aX) > O pour tout x ER, et
par suite ax est strictement convexe dans R (1, p. 39, corollaire). On en déduit la
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
proposition suivante:- - - - - - - -
PROPOSITION 2 ( G inégalité de la moyenne géométrique n). - Quels que soient les
n
nombres z, > O (1 < i 6 n) et les nombres pi > O tels que 1 Pi = 1, on a
i = 1
En outre les deux membres de (6) ne sont égaux que si tous les zi sont égaux.
En effet, posons z, = exi; l'inégalité (6) s'écrit
(7)
exp (plxl + p2x2 + . . + pnxn) < piexl + p2eX2 + . . . + Pnexn.
La proposition résulte alors de la prop. 1 de 1, p. 34, appliquée à la fonction ex,
strictement convexe dans R.
On dit que le premier membre (resp. le second membre) de (6) est la moyenne
géométrique pondérée (resp. la moyenne arithmétique pondérée) des n nombres zi, relatives
aux poids pi (1 < i < n). Si pi = lin pour 1 5 i-< - n, on dit _que 1- moyennes
-
-
-
-
aritl-i~iïéticquë etgélornétrique correspondantes sont les moyennes arithmétique et
géométrique ordinaires des zi. L'inégalité (6) s'écrit alors
2. Dérfvée de log, x
Comme aX est strictement monotone dans R pour a # 1, l'application de la
formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) donne, pour
tout x 3 O
et en particulier
1
D(log, x) = -
x log a