FVR 111.2
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
$ 1
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et - 1 ; f(t) dt appartient à G, autrement dit est inversible; il en est de même
a
de b = Jl f(t) dt, et on peut écrire f(x) = g(x)bT1; il suffit donc de prouver
que g(x) est dérivable; or, par le changement de variable x + t = u, on a
g(x) = f: *a f (u) du; comme f est continue, g est dérivable pour tout x E W (II,
p. 6, prop. 3), et on a
gf (x) = f (x + a) - f (x) = f (x) (f (a) - e ) .
D'où f'(x) = gt(x)b-l = f(x)c, où c = (f(a) - e)bP1, et on a évidemment
ff(0) = e.
Réciproquement, on peut démontrer, soit directement (III, p. 24, exerc. l),
soit à l'aide de la théorie des équations différentielles linéaires (IV, p. 29) que toute
application dérivable f de R dans une algèbre normée complète E, telle que f ' ( x ) =
f (x)c et f (O) = e, est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif G.
PROPOSITION 1. -Pour tout nombre a > O et # 1, la fonction exponentielle aX admet en
tout point x E R une dérivée égale à (log, a)aX oz2 e est un nombre > 1 (indépendant
de a).
L'application du th. 1 au cas où E est le corps R lui-même montre en effet
que aX admet en tout point une dérivée égale à y(a) . aX, où y(a) est un nombre
réel # O ne dépendant que de a. Soit b un second nombre > O et Z 1 ; la fonction
bX a une dérivée égale à cp(b) . bX d'après ce qui précède; d'autre part, on a
bx = aX.' O% donc (1, p. 17, prop. 5), la dérivée de bX est égale à log, b . y(a) bx;
par comparaison des deux expressions obtenues, il vient
On en déduit qu'il existe un nombre b et un seul tel que y (6) = 1 ; en effet,
cette relation équivaut, d'après (2), à b =
II est d'usage de désigner par e
le nombre réel ainsi déterminé; d'après (2), on a y(a) = log, a, ce qui achève
de démontrer la prop. 1.
On écrira souvent exp x au lieu de ex.
La définition du nombre e montre qu'on a
ce qui prouve que ex est strictement croissante, et par suite que e > 1.
Au $ 2 (III, p. 15), nous verrons comment on peut calculer des valeurs aussi
approchées qu'on veut du nombre e.
DÉFINITION 1. -Les logarithmes de base e sont appelés logarithmes neériens (ou
logarithmes naturels).
On convient d'ordinaire d'omettre la base dans la notation d'un logarithme
népérien. Sauf mention expresse du contraire, la notation log x (x 0) désignera
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
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et - 1 ; f(t) dt appartient à G, autrement dit est inversible; il en est de même
a
de b = Jl f(t) dt, et on peut écrire f(x) = g(x)bT1; il suffit donc de prouver
que g(x) est dérivable; or, par le changement de variable x + t = u, on a
g(x) = f: *a f (u) du; comme f est continue, g est dérivable pour tout x E W (II,
p. 6, prop. 3), et on a
gf (x) = f (x + a) - f (x) = f (x) (f (a) - e ) .
D'où f'(x) = gt(x)b-l = f(x)c, où c = (f(a) - e)bP1, et on a évidemment
ff(0) = e.
Réciproquement, on peut démontrer, soit directement (III, p. 24, exerc. l),
soit à l'aide de la théorie des équations différentielles linéaires (IV, p. 29) que toute
application dérivable f de R dans une algèbre normée complète E, telle que f ' ( x ) =
f (x)c et f (O) = e, est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif G.
PROPOSITION 1. -Pour tout nombre a > O et # 1, la fonction exponentielle aX admet en
tout point x E R une dérivée égale à (log, a)aX oz2 e est un nombre > 1 (indépendant
de a).
L'application du th. 1 au cas où E est le corps R lui-même montre en effet
que aX admet en tout point une dérivée égale à y(a) . aX, où y(a) est un nombre
réel # O ne dépendant que de a. Soit b un second nombre > O et Z 1 ; la fonction
bX a une dérivée égale à cp(b) . bX d'après ce qui précède; d'autre part, on a
bx = aX.' O% donc (1, p. 17, prop. 5), la dérivée de bX est égale à log, b . y(a) bx;
par comparaison des deux expressions obtenues, il vient
On en déduit qu'il existe un nombre b et un seul tel que y (6) = 1 ; en effet,
cette relation équivaut, d'après (2), à b =
II est d'usage de désigner par e
le nombre réel ainsi déterminé; d'après (2), on a y(a) = log, a, ce qui achève
de démontrer la prop. 1.
On écrira souvent exp x au lieu de ex.
La définition du nombre e montre qu'on a
ce qui prouve que ex est strictement croissante, et par suite que e > 1.
Au $ 2 (III, p. 15), nous verrons comment on peut calculer des valeurs aussi
approchées qu'on veut du nombre e.
DÉFINITION 1. -Les logarithmes de base e sont appelés logarithmes neériens (ou
logarithmes naturels).
On convient d'ordinaire d'omettre la base dans la notation d'un logarithme
népérien. Sauf mention expresse du contraire, la notation log x (x 0) désignera