CHAPITRE III
Fonctions élémentaires
$1. DÉRIVÉES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
E T CIRCULAIRES
1. Dérivées des fonctions exponentielles; nombre e
On sait que tout homomorphisme continu du groupe additif W dans le groupe
multiplicatif R" des nombres réels # O est une fonction de la forme x tt a" (dite
fonction exponentielle) où a est un nombre > O (TG, V, p. 11) ; c'est un isomorphisme de R sur le groupe multiplicatif R z des nombres >O si a # 1, et l'isomorphisme réciproque de R: sur R se note log, x et est appelé logarithme de base a.
Nous allons voir que la fonction f (x) = aX a pour tout x E R une dérivée de la
forme c. aX (où on a évidemment c = f'(0)). Cela résulte du théorème général
suivant :
THÉORÈME 1. - Soit E une algèbre normée complète sur le corps R, ayant un élément unité
e, et soit fun homomorphisme continu du groupe additifR dans le groupe multiplicatifG des
éléments inversibles de E. L'application f est dérivable en tout point x E R , et on a
(1)
f'(x) = f(x)f'(O).
Remarquons d'abord que, E étant une algèbre complhte, G est ouvert dans E
(TG, IX, p. 40, prop. 14). Considérons la fonction g(x) = j t f(x -t t) dt, où a > O
est un nombre que nous préciserons plus loin; comme f (x + t ) = f(x)f(t) par hypothèse, on a g(x) = j
: f(x)f(t) dt = f(x) 1; f(t) dt (1, p. 14, prop. 3). Soit a > O
tel que la boule /lx - el\ 6 a soit contcnuc dans G; comme f(0) = e et que f est
continue par hypothèse, on peut supposer que a est pris assez petit pour que
Ilf(t) - e/l 6 a dans (0, a); par suite (II, p. 12, formule (16)), on a
Fonctions élémentaires
$1. DÉRIVÉES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
E T CIRCULAIRES
1. Dérivées des fonctions exponentielles; nombre e
On sait que tout homomorphisme continu du groupe additif W dans le groupe
multiplicatif R" des nombres réels # O est une fonction de la forme x tt a" (dite
fonction exponentielle) où a est un nombre > O (TG, V, p. 11) ; c'est un isomorphisme de R sur le groupe multiplicatif R z des nombres >O si a # 1, et l'isomorphisme réciproque de R: sur R se note log, x et est appelé logarithme de base a.
Nous allons voir que la fonction f (x) = aX a pour tout x E R une dérivée de la
forme c. aX (où on a évidemment c = f'(0)). Cela résulte du théorème général
suivant :
THÉORÈME 1. - Soit E une algèbre normée complète sur le corps R, ayant un élément unité
e, et soit fun homomorphisme continu du groupe additifR dans le groupe multiplicatifG des
éléments inversibles de E. L'application f est dérivable en tout point x E R , et on a
(1)
f'(x) = f(x)f'(O).
Remarquons d'abord que, E étant une algèbre complhte, G est ouvert dans E
(TG, IX, p. 40, prop. 14). Considérons la fonction g(x) = j t f(x -t t) dt, où a > O
est un nombre que nous préciserons plus loin; comme f (x + t ) = f(x)f(t) par hypothèse, on a g(x) = j
: f(x)f(t) dt = f(x) 1; f(t) dt (1, p. 14, prop. 3). Soit a > O
tel que la boule /lx - el\ 6 a soit contcnuc dans G; comme f(0) = e et que f est
continue par hypothèse, on peut supposer que a est pris assez petit pour que
Ilf(t) - e/l 6 a dans (0, a); par suite (II, p. 12, formule (16)), on a