FVR 11.38
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
E n particulier, pour cc = + et K ( x ) = x-%, o n a
(inégalité de Hardy-Littlewood) .
e) Soient cc > - 1, K une fonction 2 0 , dérivable et croissante dans (0, +CO(. Supposons
que les intégrales
JO+ rn x - ' K ( x ) d 2 ( x ) dx et JO+ rn x a ~ ( x )
u2(x) dx
soient convergentes. Alors K(x)u2(x) tend vers O lorsque x tend vers +CD, et l'on a
(prendre v(x) = exp (-cxa) dans l'identité d e Redheffer, avec une constante c convenable).
E n particulier, si a et b sont des constantes telles que b + 1 2 a et a + b 2 O, o n a
(a + a)
x ~ + ~ - w ( x )
dx 4 2 (IO+ xZaur2 ( x ) dx) " (JO+ rn X"Y ( x ) dx) '
si les intégrales d u second membre convergent (inégalité de H. Weyl généralisée).
f ) Si O < cc < 2 et u est primitive d'une fonction réglée dans (O, cc) et u(0) = O, o n a
(inégalité d'Opial généralisée). (Appliquer convenablement (*) e n remplaçant u(x) par
e - X ~ ( ~ ) . )
g) Si u est primitive d'une fonction réglée dans (O, b) et u(0) = 0 ,
(inégalité de Hlamka) ( m ê m e méthode que dans f )).
h) Si u est la primitive d'une fonction réglée dans R, o n a, pour tout t E R
uf2 ( x ) dx)
( s:
u2 ( x ) dx) '
m
si les deux intégrales d u second membre sont convergentes (considérer les deux intervalles
)-CO, t ) et (t, + K I ( ; prendre u(x) = eux dans les deux intervalles, h(x) = l/cc dans le
premier intervalle et h(x) = - l / a dans le second, puis choisir cc > O convenablement).,