§ 3
EXERCICES
FVR 11.37
10) a) Si h, ZL, v' sont des primitives de fonctions réglées numériques dans un intervalle
ouvert )a, b( de R, v une primitive de v' , et si v(x) > O dans cet intervalle, on a l'identité de
Redheffer
aux points dc )a, b( où les dérivées sont définies.
* b) Soient v, w dcux fonctions >O dans )a, b(, primitives de fonctions réglées v' > 0,
w' < O. Déduire de a) que pour toute fonction u primitive d'une fonction réglée u' dans
)a, 6( et telle que lim.inf u(x) = 0, l'hypothèse que l'intégrale
- d2(x) dx est conx - a . x i a
1." $;
vergente entraîne que l'intégrale lab u2(x)dx est convergente et que
v (x)
lim sup u2 (x) w (x) /v(x)
x - + b . x < b
est finie, ainsi que l'inégalité
(Posant A = wlv', observer d'abord que
dt/h(t) < v(x)/w(x) pour a < c < x < LI et
remarquer que l'on a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz
en déduire que l'on a
lim . inf u2 (x) zei (x) /v(x) = O,
x - a , x > a
puis intégrer l'identité de Redheffer.)
c) Déduire de (*) que si u est primitive d'une fonction réglée dans )O, l), si
et si l'intégrale J: ug2(t) dt est convergente, il en est de même de ( ~ ( t ) / t ) ~
dt et on a
l'inégalité, pour tout v. > O
d) Soient cc un nombre > O, K une fonction > 0, dérivable et décroissante dans )O, +CO( et
telle que lim K(x) = O. Si u est la primitive d'une fonction réglée dans )O, +CO(,
x + + m
telle que iimsinf u(x) = O, et si l'intégrale JO+ X1-mK(X)U12(X) dX est convergente, la
x - o . x > o
fonction ~ - ~ K ( x ) u ~ ( x )
tend vers O lorsque x tend vers O ou vers +CO, l'intégrale
est convergente et l'on a
(prendre v(x) = xm, h(x) = ~ l - ~ K ( x )
dans l'identité de Redheffer).