FVR 11.36
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
5 3
à S: :
:
:
:
fA(t, a,) dt, même si a et b ne sont pas dérivables au point oro (soit M la borne
supérieure de Ilfa (x, a) I / dans un voisinage compact de (b(ao), a,) ; remarquer, à l'aide du th.
de Bolzano appliqué à b(a), que pour tout point x appartenant à l'intervalle d'extrémités
b(aO) et b(rx), on a, lorsque a est assez voisin de a,, jjf (x, a) 1 1 < Mla - ccol).
5) Soit f une fonction vectorielle continue dans l'intervalle compact 1 = (O, a). Montrer
que si, au point a, E 1, il existe E > O tel que (f (x) - f(a,))/lx -
resteborné lorsque
x tend vers a,, la fonction g(a) = J"(: f (x) d x l d z admet au point a, une dérivée égale à
pour a, > 0, à O pour uo = 0.
Lorsque f est la fonction numérique d a , - x, montrer que la fonction g admet une
dérivée infinie au point cco.
7 6) Soient 1 = (a, b), A = (c, d) deux intervalles compacts dans R ; soit f une fonction
définie dans 1 x A, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, telle que pour tout
a E A, t H f (t, a) soit réglée dans 1, que f soit bornée dans 1 x A, et que l'ensemble D des
points de discontinuité de f dans 1 x A soit rencontré en un nombrejni de points par toute
droite x = xo et toute droite a = a, (xo E 1, cco E A).
a) Montrer que la fonction g(a) = SE f (t, a) dt est continue dans A (étant donnés cco E A et
E > O, montrer qu'il existe un voisinage V de a, et un nombre fini d'intervalles Jk contenus
dans 1 et dont la somme des longueurs est GE, tels que, si J désigne le complémentaire par
rapport à 1 de U Jk, f soit continue dans J x V).
k
6) Montrer que la formule d'interversion des intégrations (II, p. 27, formule (15)) est
encore valable (même méthode que dans a)).
7) Soit f une fonction numérique définie et ayant une dérivée continue dans l'intervalle
)O, + cc (, et telle que
lim f (x) = lim f (x) = 0.
x-O
x - + m
L'intégrale Sa f'(at) dt est définie et continue dans tout intervalle )O, a) borné; montrer
que l'intégrale f l m dt J": f'(at) da peut ne pas exister ou être distincte de
7 8) Soient 1 et J deux intervalles quelconques dans R, f une fonction définie et continue
dans 1 x J, à valeurs dans un espace normé complet E sur R. O n suppose que:
Io l'intégrale SI f (x, y) dx est uniformément convergente lorsque y décrit un intervalle
compact quelconque contenu dans J;
Z0 l'intégrale J", f (x, y) dy est uniformément convergente lorsque x décrit un intervalle compact quelconque contenu dans 1;
3 O si, pour tout intervalle compact H contenu dans 1, on pose u,(y) =
f (x, y) dx, l'intégrale
S, u,(y) dy est uniformément convergente pour H E R(1) (ordonné filtrant des intervalles
compacts contenus dans 1).
Dans ces conditions, montrer que les intégrales SI dx j, f (x, y) dy et f, dy fS, f (x, y) dx
existent et sont égales.
* 9) Déduire de l'exerc. 8 que les intégrales
existent et sont égales.,
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
5 3
à S: :
:
:
:
fA(t, a,) dt, même si a et b ne sont pas dérivables au point oro (soit M la borne
supérieure de Ilfa (x, a) I / dans un voisinage compact de (b(ao), a,) ; remarquer, à l'aide du th.
de Bolzano appliqué à b(a), que pour tout point x appartenant à l'intervalle d'extrémités
b(aO) et b(rx), on a, lorsque a est assez voisin de a,, jjf (x, a) 1 1 < Mla - ccol).
5) Soit f une fonction vectorielle continue dans l'intervalle compact 1 = (O, a). Montrer
que si, au point a, E 1, il existe E > O tel que (f (x) - f(a,))/lx -
resteborné lorsque
x tend vers a,, la fonction g(a) = J"(: f (x) d x l d z admet au point a, une dérivée égale à
pour a, > 0, à O pour uo = 0.
Lorsque f est la fonction numérique d a , - x, montrer que la fonction g admet une
dérivée infinie au point cco.
7 6) Soient 1 = (a, b), A = (c, d) deux intervalles compacts dans R ; soit f une fonction
définie dans 1 x A, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, telle que pour tout
a E A, t H f (t, a) soit réglée dans 1, que f soit bornée dans 1 x A, et que l'ensemble D des
points de discontinuité de f dans 1 x A soit rencontré en un nombrejni de points par toute
droite x = xo et toute droite a = a, (xo E 1, cco E A).
a) Montrer que la fonction g(a) = SE f (t, a) dt est continue dans A (étant donnés cco E A et
E > O, montrer qu'il existe un voisinage V de a, et un nombre fini d'intervalles Jk contenus
dans 1 et dont la somme des longueurs est GE, tels que, si J désigne le complémentaire par
rapport à 1 de U Jk, f soit continue dans J x V).
k
6) Montrer que la formule d'interversion des intégrations (II, p. 27, formule (15)) est
encore valable (même méthode que dans a)).
7) Soit f une fonction numérique définie et ayant une dérivée continue dans l'intervalle
)O, + cc (, et telle que
lim f (x) = lim f (x) = 0.
x-O
x - + m
L'intégrale Sa f'(at) dt est définie et continue dans tout intervalle )O, a) borné; montrer
que l'intégrale f l m dt J": f'(at) da peut ne pas exister ou être distincte de
7 8) Soient 1 et J deux intervalles quelconques dans R, f une fonction définie et continue
dans 1 x J, à valeurs dans un espace normé complet E sur R. O n suppose que:
Io l'intégrale SI f (x, y) dx est uniformément convergente lorsque y décrit un intervalle
compact quelconque contenu dans J;
Z0 l'intégrale J", f (x, y) dy est uniformément convergente lorsque x décrit un intervalle compact quelconque contenu dans 1;
3 O si, pour tout intervalle compact H contenu dans 1, on pose u,(y) =
f (x, y) dx, l'intégrale
S, u,(y) dy est uniformément convergente pour H E R(1) (ordonné filtrant des intervalles
compacts contenus dans 1).
Dans ces conditions, montrer que les intégrales SI dx j, f (x, y) dy et f, dy fS, f (x, y) dx
existent et sont égales.
* 9) Déduire de l'exerc. 8 que les intégrales
existent et sont égales.,