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EXERCICES
FVR 11.35
(Le démontrer d'abord lorsque f est constante dans un intervalle )O, a) et nulle pour x > a,
puis pour une somme de telles fonctions, et passer à la limite dans le cas général.)
1) Soient 1 un intervalle quelconque de R, A un ensemble, g une fonction numérique finie,
définie dans I x A, telle que pour tout a E A, t H g(t, a) soit décroissante et > O dans 1;
on suppose en outre qu'il existe un nombre M indépcndant de a tel que g(t, a) < M dans
1 x A.
a) Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, telle que l'intégrale SI f (t) dl soit convergente, l'intégrale SI f(t)g(t, a)dt est uniformément convergente pour cc E A (utiliser le
second théorème de la moyenne; CF. II, p. 31, exerc. 16).
b ) On suppose que 1 = (a, + C O ( ct en outre que g(t, cc) tendc uniformément vers O (pour
a E A) lorsque t tend vers + co. Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, et s'il existe
un nombre k > O tel que / / J, f (t) dt // < k pour tout intervalle compact J contenu dans 1,
l'intégrale SI f (t)g(t, cc) dt est uniformément convergente pour a E A (même méthode).
G) O n suppose que 1 = (a, + C O ( avec a > O, A = (O, +CO(, et g(t, a) =
que ?(O) = 1. On suppose en outre que f = h , où h est une fonction deux fois dérivable
dans (a, + CO(, bornée ainsi que h' dans cet intervalle. L'intégrale S: " f (t)rp(cct) dt est alors
convergente pour cc > O; montrer que lorsque cc tend vers O, elle tend vers - h'(a) (intkgrcr
par parties et utiliser le second théorème de la moyenne).
* d) On prend O, a = 1 ct pour f la fonction complexe t » eil0gt/t qui
est la dérivée d'une fonction bornCc dans 1; montrer que pour un choix convenable de c
.
.
,$l06t
l'intégrale j : " ëact - dt, qui est absolumcnt convergente pour cc > O, ne tend vers
1
aucune limite lorsquc a tend vers O (après avoir intégré par parties, faire le changcment de
variables cct = u ; pour voir que f : e-CU+ilOgU du n'est pas nulle pour certains G > 0,
utiliser la théorie de la transformation de Laplace.),
2) Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans un intervalle compact (a, b), tclles
que f soit décroissante dans (a, b), et O < g(t) < 1. Si on pose h = j : g(t) dt, montrer que
l'on a
sauf lorsque f est constantc, ou que g est égale à O (resp. 1) en tous lcs points où cllc rst continue (auxquels cas les trois membres sont Cgaux). (Dans l'intégrale s : j'(t)g(t) dt, faire
varier l'une des limites d'intégration.)
- -
3) Soitf(x, a) = 1 / d 1 - 2ax + cr2 pour - 1 < x < 1 et a E R; montrer que la fonction
g(cc) = Sr: d x / d l - Sccx + cr2 est continue dans R, mais n'admet pas de dérivée pour
or = 1 e t c c = -1;montrcrqucf~(x,cc) c x i s t e p o u r t o u t c c ~ R e t p o u r x ~ I
= ) - 1 , +1(,
et est continue dans 1 x R, que I'intCgralc j+: f,' (x, cc) dx cxiste pour tout cc E R, mais
vérifier que cette inttgrale n'est pas uniformément convergente dans un voisinage du point
a = 1 ou du point or = -1.
7 4) Soit 1 un intervalle dans ]ta, A un voisinage d'un point cco dans le corps W (resp. le
corps C), f une application continue de 1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle
que fL(x, cc) existe et soit continue dans 1 x A. Soient a(a), b(a) deux fonctions définies et
continues dans A, à valcurs dans 1 , telles qu'on ait identiqueincnt f (a(cc), cc) = f (b(cc), cc) = O
dans A. Montrer que la fonction g(a) =
f (t, a) dt admet au point cco une dérivée égale
EXERCICES
FVR 11.35
(Le démontrer d'abord lorsque f est constante dans un intervalle )O, a) et nulle pour x > a,
puis pour une somme de telles fonctions, et passer à la limite dans le cas général.)
1) Soient 1 un intervalle quelconque de R, A un ensemble, g une fonction numérique finie,
définie dans I x A, telle que pour tout a E A, t H g(t, a) soit décroissante et > O dans 1;
on suppose en outre qu'il existe un nombre M indépcndant de a tel que g(t, a) < M dans
1 x A.
a) Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, telle que l'intégrale SI f (t) dl soit convergente, l'intégrale SI f(t)g(t, a)dt est uniformément convergente pour cc E A (utiliser le
second théorème de la moyenne; CF. II, p. 31, exerc. 16).
b ) On suppose que 1 = (a, + C O ( ct en outre que g(t, cc) tendc uniformément vers O (pour
a E A) lorsque t tend vers + co. Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, et s'il existe
un nombre k > O tel que / / J, f (t) dt // < k pour tout intervalle compact J contenu dans 1,
l'intégrale SI f (t)g(t, cc) dt est uniformément convergente pour a E A (même méthode).
G) O n suppose que 1 = (a, + C O ( avec a > O, A = (O, +CO(, et g(t, a) =
que ?(O) = 1. On suppose en outre que f = h , où h est une fonction deux fois dérivable
dans (a, + CO(, bornée ainsi que h' dans cet intervalle. L'intégrale S: " f (t)rp(cct) dt est alors
convergente pour cc > O; montrer que lorsque cc tend vers O, elle tend vers - h'(a) (intkgrcr
par parties et utiliser le second théorème de la moyenne).
* d) On prend
est la dérivée d'une fonction bornCc dans 1; montrer que pour un choix convenable de c
.
.
,$l06t
l'intégrale j : " ëact - dt, qui est absolumcnt convergente pour cc > O, ne tend vers
1
aucune limite lorsquc a tend vers O (après avoir intégré par parties, faire le changcment de
variables cct = u ; pour voir que f : e-CU+ilOgU du n'est pas nulle pour certains G > 0,
utiliser la théorie de la transformation de Laplace.),
2) Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans un intervalle compact (a, b), tclles
que f soit décroissante dans (a, b), et O < g(t) < 1. Si on pose h = j : g(t) dt, montrer que
l'on a
sauf lorsque f est constantc, ou que g est égale à O (resp. 1) en tous lcs points où cllc rst continue (auxquels cas les trois membres sont Cgaux). (Dans l'intégrale s : j'(t)g(t) dt, faire
varier l'une des limites d'intégration.)
- -
3) Soitf(x, a) = 1 / d 1 - 2ax + cr2 pour - 1 < x < 1 et a E R; montrer que la fonction
g(cc) = Sr: d x / d l - Sccx + cr2 est continue dans R, mais n'admet pas de dérivée pour
or = 1 e t c c = -1;montrcrqucf~(x,cc) c x i s t e p o u r t o u t c c ~ R e t p o u r x ~ I
= ) - 1 , +1(,
et est continue dans 1 x R, que I'intCgralc j+: f,' (x, cc) dx cxiste pour tout cc E R, mais
vérifier que cette inttgrale n'est pas uniformément convergente dans un voisinage du point
a = 1 ou du point or = -1.
7 4) Soit 1 un intervalle dans ]ta, A un voisinage d'un point cco dans le corps W (resp. le
corps C), f une application continue de 1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle
que fL(x, cc) existe et soit continue dans 1 x A. Soient a(a), b(a) deux fonctions définies et
continues dans A, à valcurs dans 1 , telles qu'on ait identiqueincnt f (a(cc), cc) = f (b(cc), cc) = O
dans A. Montrer que la fonction g(a) =
f (t, a) dt admet au point cco une dérivée égale