FVR 11.34
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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intervalle, telle que l'intégrale g(x) = J O f (t) dt soit convergente mais que g n'ait pas de
dérivée à droite au point O. Montrer qu'il existe une fonction fl réglée dans )O, a), telle que
( f1(x))" = f (x) pour tout x, que l'intégrale gl(x) = J E fl(t) dt soit convergente et que gl
ait une dérivée à droite au point O. (Considérer d'abord le cas où f est identique à une
fonction en escalier dans tout intervalle (E, a) (pour E > O). Dans ce cas, diviser chaque
intervalle où f est constante en un assez grand nombre de parties égales, et prendre fi
constante dans chacun de ces intervalles, le signe de fi étant différent dans deux intervalles
consécutifs. Procéder de même dans le cas général.)
4) Définir dans l'intervalle (0, 1) deux fonctions numériquesf, g telles que f et g admettent
des primitives strictes, mais que fg soit en tout point de (O, 1( la dérivée à droite d'une fonction continue qui n'admet pas de dérivée à gauche en un ensemble de points ayant la
puissance du continu (utiliser des constructions analogues à celles de l'exerc. 8 de 1, p. 45 et
de l'exerc. 3 ci-dessus).
5) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle ouvert borné )a, b(; on suppose qu'il existe
une fonction numérique g, décroissante dans )a, b(, telle que Ilf (.Y)]/ < g(x) dans )a, b( et que
l'intégrale
g(t) dt soit convergente. Montrer que, si (en) est une suite de nombres > 0,
tendant vers 0 et telle que inf nEn > O, on a
n
n - 1
iim ' 2 f(a + en + k*) = /:f(t) dt.
n-rm n k = o
n
b) Donner un exemple de fonction numérique f réglée et >O dans )O, 1) telle que
l'intégrale Ji f (t) dt soit convergente, mais que la relation (*) n'ait pas lieu pour E, = l/n
(prendre f de sorte que sa valeur pour x = 2-P soit 2"P).
c ) Avec les mêmes hypothèses que dans a), montrer que
6 ) Soit f une fonction réglée dans l'intervalle )a, +CO(; on suppose qu'il existe une fonction
numérique g décroissante dans )a, + a ( , telle que llf (x) I I < g(x) dans cet intervalle et que
l'intégrale J, ' " g(t) dt soit convergente. Montrer que la série 2 f (a + nh) est absolument
n = l
convergente pour tout h > O, et que l'on a
iim h sl f (a + nh) = 1
: f ( t ) dl.
h- m
7) Soient f et g deux fonctions réglées et >O dans un intervalle ouvert )a, b(. Montrer que
les intégrales des fonctions f/(l + fg) et inf (f, 1/g) dans )a, b( sont à la fois convergentes ou
infinies.
8) Soit f une fonction réglée et 2 O dans un intervalle (a, + CO(, et soit g une fonction dérivable croissante définie dans (a, +CO(, et telle que g(x) - x 2 -h > O pour tout x > a.
Montrer que si l'on a f (g(x))g'(x) < k. f (x) avec k < 1 (resp. f (g(x))gl(x) 2 k. f (x) avec
k > l), l'intégrale
f (t) dt est convergente (resp. égale à + a ) (critère d'Ermakoff: en
désignant par gn la n-ème itérée de g, considérer l'intégrale J9,n(a) f (t) dt et faire croître n
indéfiniment).
9) Soit GC un nombre > O, f une fonction 2 O et décroissante, définie dans l'intervalle )O, + a (
et telle que l'intégrale JOm t '
f (t) dt soit convergente. Montrer que pour tout x > O, on a
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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intervalle, telle que l'intégrale g(x) = J O f (t) dt soit convergente mais que g n'ait pas de
dérivée à droite au point O. Montrer qu'il existe une fonction fl réglée dans )O, a), telle que
( f1(x))" = f (x) pour tout x, que l'intégrale gl(x) = J E fl(t) dt soit convergente et que gl
ait une dérivée à droite au point O. (Considérer d'abord le cas où f est identique à une
fonction en escalier dans tout intervalle (E, a) (pour E > O). Dans ce cas, diviser chaque
intervalle où f est constante en un assez grand nombre de parties égales, et prendre fi
constante dans chacun de ces intervalles, le signe de fi étant différent dans deux intervalles
consécutifs. Procéder de même dans le cas général.)
4) Définir dans l'intervalle (0, 1) deux fonctions numériquesf, g telles que f et g admettent
des primitives strictes, mais que fg soit en tout point de (O, 1( la dérivée à droite d'une fonction continue qui n'admet pas de dérivée à gauche en un ensemble de points ayant la
puissance du continu (utiliser des constructions analogues à celles de l'exerc. 8 de 1, p. 45 et
de l'exerc. 3 ci-dessus).
5) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle ouvert borné )a, b(; on suppose qu'il existe
une fonction numérique g, décroissante dans )a, b(, telle que Ilf (.Y)]/ < g(x) dans )a, b( et que
l'intégrale
g(t) dt soit convergente. Montrer que, si (en) est une suite de nombres > 0,
tendant vers 0 et telle que inf nEn > O, on a
n
n - 1
iim ' 2 f(a + en + k*) = /:f(t) dt.
n-rm n k = o
n
b) Donner un exemple de fonction numérique f réglée et >O dans )O, 1) telle que
l'intégrale Ji f (t) dt soit convergente, mais que la relation (*) n'ait pas lieu pour E, = l/n
(prendre f de sorte que sa valeur pour x = 2-P soit 2"P).
c ) Avec les mêmes hypothèses que dans a), montrer que
6 ) Soit f une fonction réglée dans l'intervalle )a, +CO(; on suppose qu'il existe une fonction
numérique g décroissante dans )a, + a ( , telle que llf (x) I I < g(x) dans cet intervalle et que
l'intégrale J, ' " g(t) dt soit convergente. Montrer que la série 2 f (a + nh) est absolument
n = l
convergente pour tout h > O, et que l'on a
iim h sl f (a + nh) = 1
: f ( t ) dl.
h- m
7) Soient f et g deux fonctions réglées et >O dans un intervalle ouvert )a, b(. Montrer que
les intégrales des fonctions f/(l + fg) et inf (f, 1/g) dans )a, b( sont à la fois convergentes ou
infinies.
8) Soit f une fonction réglée et 2 O dans un intervalle (a, + CO(, et soit g une fonction dérivable croissante définie dans (a, +CO(, et telle que g(x) - x 2 -h > O pour tout x > a.
Montrer que si l'on a f (g(x))g'(x) < k. f (x) avec k < 1 (resp. f (g(x))gl(x) 2 k. f (x) avec
k > l), l'intégrale
f (t) dt est convergente (resp. égale à + a ) (critère d'Ermakoff: en
désignant par gn la n-ème itérée de g, considérer l'intégrale J9,n(a) f (t) dt et faire croître n
indéfiniment).
9) Soit GC un nombre > O, f une fonction 2 O et décroissante, définie dans l'intervalle )O, + a (
et telle que l'intégrale JOm t '
f (t) dt soit convergente. Montrer que pour tout x > O, on a