§ 2
EXERCICES
FVR 11.33
(Pour tout a tel que O < a < 1, soit fa la fonction égale à f pour O $ t < a et à f (a) pour
a < t < 1 ; soit A l'ensemble des a E )O, 1) pour lesquels il existe une fonction convexe ha
dans (O, 1) telle que ha 3 fa et J": h,(t) dt < 2 J": fa(t) dt. Montrer que la borne supérieure
b de A appartient encore à A, en utilisant l'exerc. 1 de 1, p. 52. Prouver ensuite que fb = f en
raisonnant par l'absurde. Pour cela, on se ramène à prouver le résultat suivant: si pi est
continue et croissante dans {O, 1), non constante et telle que pi(0) = O, il y a un point
c E )O, l( tel que p(c) > O et que la fonction linéaire + telle que +(c) = pi(c) et
+(2c - 1) = O
vérifie la relation $(t) 3 v(t) pour max(0, 2c - 1) $ t < c.)
23) Soit f une fonction vectorielle continûment dérivable dans un intervalle (a, b) c R, à
valeurs dans un espace normé complet.
a) Montrer que pour a < t < b, on a
b) En déduire les inégalités
1) Soient cc et p deux nombres réels finis tels que cc < p. Montrer que si y et 6 sont deux
nombres tels que cr < y < 6 < p, il existe une fonction numériquef, définie dans un intervalle (O, Q), ne prenant que les valeurs cc et p, telle que dans tout intervalle (E, a) (pour
E > O), f soit une fonction en escalier et que, si on pose g(x) = f (t) dt, on ait
(prendre pour g une fonction dont le graphe est une ligne brisée dont les côtés consécutifs
ont pour pentes a et p et dont les sommets se trouvent alternativement, soit sur les droites
y = yx, y = Sx pour y # 8, soit sur la droite y = yx et la parabole y = yx + x2 pour
y = 6).
Par la même méthode, montrer que si y et S sont finis ou non (y < 6 ) il existe une fonction numérique f définie dans )O, a) telle que, dans tout intervalle (E, a) (pour E > O), f soit
une fonction en escalier, que l'intégrale g(x) = fi f ( t ) dt existe et que l'on ait encore les
relations (*).
f (t)
2) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle )O, a) telle que l'intégrale j: - dt soit
t
convergente. Montrer que l'intégrale g(x) = fi f (t) dt est convergente et que g admet au
point x = O une dérivée à droite (intégrer convenablement par parties).
b) Donner un exemple de fonction numérique f telle que l'intégrale g(x) = SE f (t) dt soit
convergente et admette au point O une dérivée à droite, mais que f (t)/t n'admette pas
d'intégrale dans )O, a) (prendre pour f (x)/x la dérivée d'une fonction de la forme COS cp(x),
où pi tend vers $ CO lorsque x tend vers O).
3) Soit f une fonction numérique 2 0, définie dans un intervalle )O, a) et réglée dans cet
EXERCICES
FVR 11.33
(Pour tout a tel que O < a < 1, soit fa la fonction égale à f pour O $ t < a et à f (a) pour
a < t < 1 ; soit A l'ensemble des a E )O, 1) pour lesquels il existe une fonction convexe ha
dans (O, 1) telle que ha 3 fa et J": h,(t) dt < 2 J": fa(t) dt. Montrer que la borne supérieure
b de A appartient encore à A, en utilisant l'exerc. 1 de 1, p. 52. Prouver ensuite que fb = f en
raisonnant par l'absurde. Pour cela, on se ramène à prouver le résultat suivant: si pi est
continue et croissante dans {O, 1), non constante et telle que pi(0) = O, il y a un point
c E )O, l( tel que p(c) > O et que la fonction linéaire + telle que +(c) = pi(c) et
+(2c - 1) = O
vérifie la relation $(t) 3 v(t) pour max(0, 2c - 1) $ t < c.)
23) Soit f une fonction vectorielle continûment dérivable dans un intervalle (a, b) c R, à
valeurs dans un espace normé complet.
a) Montrer que pour a < t < b, on a
b) En déduire les inégalités
1) Soient cc et p deux nombres réels finis tels que cc < p. Montrer que si y et 6 sont deux
nombres tels que cr < y < 6 < p, il existe une fonction numériquef, définie dans un intervalle (O, Q), ne prenant que les valeurs cc et p, telle que dans tout intervalle (E, a) (pour
E > O), f soit une fonction en escalier et que, si on pose g(x) = f (t) dt, on ait
(prendre pour g une fonction dont le graphe est une ligne brisée dont les côtés consécutifs
ont pour pentes a et p et dont les sommets se trouvent alternativement, soit sur les droites
y = yx, y = Sx pour y # 8, soit sur la droite y = yx et la parabole y = yx + x2 pour
y = 6).
Par la même méthode, montrer que si y et S sont finis ou non (y < 6 ) il existe une fonction numérique f définie dans )O, a) telle que, dans tout intervalle (E, a) (pour E > O), f soit
une fonction en escalier, que l'intégrale g(x) = fi f ( t ) dt existe et que l'on ait encore les
relations (*).
f (t)
2) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle )O, a) telle que l'intégrale j: - dt soit
t
convergente. Montrer que l'intégrale g(x) = fi f (t) dt est convergente et que g admet au
point x = O une dérivée à droite (intégrer convenablement par parties).
b) Donner un exemple de fonction numérique f telle que l'intégrale g(x) = SE f (t) dt soit
convergente et admette au point O une dérivée à droite, mais que f (t)/t n'admette pas
d'intégrale dans )O, a) (prendre pour f (x)/x la dérivée d'une fonction de la forme COS cp(x),
où pi tend vers $ CO lorsque x tend vers O).
3) Soit f une fonction numérique 2 0, définie dans un intervalle )O, a) et réglée dans cet