FVR 11.32
PRIMITIVES ET INTEGRALES
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où c appartient à D (se ramener au cas où g est une fonction en escalier monotone). En
déduire que si f est une fonction numérique réglée dans 1, il existe c G I tel que
(« deuxième théorème de la moyenne )>).
17) Soit g une fonction numérique admcttant une dérivée continue et f O dans (a, x); si f cst
une fonction numérique ayant unc dérivée (n + 1)-Cme réglke dans (a, x), montrer que le
reste rn(x) du d&eloppemcnt de Taylor d'ordre n de f au point a, peut s'écrire
où a < < < x (utiliser la forme intégrale de r,(x)).
18) Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle ouvert 1. Pour que f
soit convexe dans 1, il faut et il suffit que, pour tout x E 1, on ait
(raisonner comme dans l'exerc. 9 de 1, p. 52).
19) Soient f une fonction convexe dans un intervalle 1, h un nombre >O, et 1 , l'intersection
de 1 et des intervalles 1 + h et I - h ; montrer que, si 1, n'est pas vide, la fonction
est convexe dans 1,; si h < k, on a g, < g. Lorsquc h tend vers O, montrer que gh tend
uniformément vers f dans tout intcrvalle compact contenu dans l'intérieur de 1.
20) Montrer que, lorsque n croît indéfiniment, le polynôme
tend uniformément vers - 1 dans tout intcrvalle ( - 1, - E), et tend uniformément vers + 1
dans tout intervalle (E, + l), où E > O (remarquer que Ji (1 - t2), dt > Ji (1 - t)n dt).
En déduire que le polynôme gn(x) = JE f,(t) dt tend uniformément vers 1x1 dans (- 1, + l),
ce qui donne une nouvelle dkmonstration du th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3).
21) Soit f une fonction numérique croissante convexe et continue dans un intervalle (O, a)
et telle que f (O) = O. Si a, > a, > . . . 2 a, > O est une suite finie décroissante de points
de (O, a), montrer que l'on a
f (al) -f(a,) + . - + ( - l)n-y(a,) > f (al - a2 + . . + ( - l)n-lan).
(On peut se borner au cas où n = 2m est pair; remarquer que pour 1 < j < m, on a
22) Soit f une fonction numérique continue croissante et > O dans l'intervalle (0, 1).
a) Montrer qu'il existe une fonction convexe g > O dans (O, 1) telle que g G f et
Ji g(t) dt > 3 f: f (t) dt (cf. 1, p. 53, exerc. 23).
b) Montrer qu'il existe une fonction convexe h dans (O, 1) telle que h > f et que
Io1 h(t) dt 4 2 JO1 f (t) dt.
PRIMITIVES ET INTEGRALES
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où c appartient à D (se ramener au cas où g est une fonction en escalier monotone). En
déduire que si f est une fonction numérique réglée dans 1, il existe c G I tel que
(« deuxième théorème de la moyenne )>).
17) Soit g une fonction numérique admcttant une dérivée continue et f O dans (a, x); si f cst
une fonction numérique ayant unc dérivée (n + 1)-Cme réglke dans (a, x), montrer que le
reste rn(x) du d&eloppemcnt de Taylor d'ordre n de f au point a, peut s'écrire
où a < < < x (utiliser la forme intégrale de r,(x)).
18) Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle ouvert 1. Pour que f
soit convexe dans 1, il faut et il suffit que, pour tout x E 1, on ait
(raisonner comme dans l'exerc. 9 de 1, p. 52).
19) Soient f une fonction convexe dans un intervalle 1, h un nombre >O, et 1 , l'intersection
de 1 et des intervalles 1 + h et I - h ; montrer que, si 1, n'est pas vide, la fonction
est convexe dans 1,; si h < k, on a g, < g. Lorsquc h tend vers O, montrer que gh tend
uniformément vers f dans tout intcrvalle compact contenu dans l'intérieur de 1.
20) Montrer que, lorsque n croît indéfiniment, le polynôme
tend uniformément vers - 1 dans tout intcrvalle ( - 1, - E), et tend uniformément vers + 1
dans tout intervalle (E, + l), où E > O (remarquer que Ji (1 - t2), dt > Ji (1 - t)n dt).
En déduire que le polynôme gn(x) = JE f,(t) dt tend uniformément vers 1x1 dans (- 1, + l),
ce qui donne une nouvelle dkmonstration du th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3).
21) Soit f une fonction numérique croissante convexe et continue dans un intervalle (O, a)
et telle que f (O) = O. Si a, > a, > . . . 2 a, > O est une suite finie décroissante de points
de (O, a), montrer que l'on a
f (al) -f(a,) + . - + ( - l)n-y(a,) > f (al - a2 + . . + ( - l)n-lan).
(On peut se borner au cas où n = 2m est pair; remarquer que pour 1 < j < m, on a
22) Soit f une fonction numérique continue croissante et > O dans l'intervalle (0, 1).
a) Montrer qu'il existe une fonction convexe g > O dans (O, 1) telle que g G f et
Ji g(t) dt > 3 f: f (t) dt (cf. 1, p. 53, exerc. 23).
b) Montrer qu'il existe une fonction convexe h dans (O, 1) telle que h > f et que
Io1 h(t) dt 4 2 JO1 f (t) dt.