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EXERCICES
FVR 11.31
ait lieu pour toute fonction numérique f appartenant à un ensemble partout dense dans
l'espace des fonctions numériques continues dans (O, 1), muni de la topologie de la convergence uniforme.
IT[ 13) Soit f une fonction numérique réglée dans un intervalle compact (a, b). O n pose
a) Montrer que, si f est croissante dans (a, b), on a
b) Si f est continue et admet dans (a, b( une dérivée à droite réglée et bornée, montrer qu'on a
b - a
b - a
lim nr(n) = -
2
(f (b) - f (a)) (en posant xk = a + k - 3
remarquer qu'on a
n + m
et appliquer la prop. 5 de II, p. 7).
c) Donner un exemple de fonction f croissante et continue dans (a, 6 ) telle que nr(n) ne tende
b - a
pas vers -
2
(f (b) - f (a)) lorsque n croît indéfiniment [prendre pour f la limite d'une
suite décroissante (f,) de fonctions croissantes dont les courbes représentatives sont des
lignes brisées, telles que
14) Soit f une fonction vcctorielle primitive d'une fonction réglée f' dans (a, b), et telle que
f (a) = f (6) = O. Montrer que si M est la borne supérieure de Ilf '(x) 11 dans l'ensemble des
points de (a, b) où f' est continue, on a
15) Soit f une fonction numérique continue, strictement croissante dans un intervalle (O, a),
et telle que f (0) = O; soit g sa fonction récriproque, définie et strictement croissante dans
(O, f (a)); montrer que, pour O < x < a et O < y < f (a), on a
l'égalité n'ayant lieu que si y = f (x) (Ctudier les variations en fonction de x (y restant fixe)
de xy -
f ( t ) dt). En déduire que, pour x 2 O, y 2 O,
> 1, f i ' = p/(p - l ) , on a
xy -/ aap + byp' pour a > 0, b > O et ( p a ) ~ ' ( p ' b ) ~
> 1.
16) Soient f une fonction vectorielle réglée dans I = (a, b) c R, u une primitive de f dans 1,
D un ensemble convexe fermé contenant u(1). Montrer que si g est une fonction numérique
monotone dans 1, on a