FVR 11.30
PRIMITIVES ET INTEGRALES
6 1
* 8) Montrer qu'il existe une fonction continue dans (- 1, + 1) admettant une dérivée finie
en tout point de cet intervalle, cette dérivée étant égale à sin - 1 aux points x distincts
(SI.
,lx)
de Ilnx (n entier f O) et de O. (Au voisinage de x - llnx, faire le changement de variable
x =
et utiliscr l'exerc. 7; à l'aide du même changement de variable, montrer
nx + Arc sin u
qu'il existe une constante a > O indépendante de n, telle que
en déduire que si on pose
1
g(x) = ~ i m sin (
:
) dt,
E + O
sin -
g admet au point x = O une dérivée nulle.) .
9 ) Soit f une fonction réglée dans un intervalle compact 1 = (a, O). Montrer que, pour
tout E > O, il existe une fonction g continue dans 1 et telle que fl j(f ( t ) - g ( t ) /j dt < E (se
ramener au cas où f est une fonction en escalier). En déduire qu'il existe un polynôme h
(à coefficients dans E) tel que j : jlf (t) - h ( t ) I/ dt < E.
10) Soit f une fonction réglée dans (a, b), prenant ses valeurs dans E, g une fonction
réglée dans (a, c ) (c > b ) , prenant ses valeurs dans F, et soit (x, y) tt [x. y] une application
bilinéaire continue de E x F dans G (E, F, G espaces normés complets). Montrer que
(se ramener au cas où f est une fonction en escalier).
I I ) Les hypothèses étant les mêmes que dans I'exerc. 10, montrer que, pour tout E > 0,
il existe un nombre p > O tel que pour toute subdivision de (a, O) en intervalles (x,, xl +1) de
longueur < p (O ( i < n - l), on a
quels que soient, pour chaque indice i, les points u,, v, dans (x,, x, , (se ramener au cas où
f et g sont des fonctions en escalier).
7 12) On dit qu'une suite (xn) de nombres réels appartenant à l'intervalle (0, 1) est également
répartie dans cet intervalle si, pour tout couple de nombres cc. p tels que O < cc < p < 1 on a,
en désignant par vn(a, P) le nombre des indices i tels que 1 < i < n et a < x, < jj
vn!. ,
P)
p - a.
lim - =
n + m
12
Montrer que, si la suite (x,) est également répartie, et si f est une fonction réglée dans
(0, 117 on a
1
Iim - Z f(r,) = 1; f (t) dt
n-+ m l = l
(se ramener au cas où f est une fonction en escalier). Réciproque.
Montrer que, pour que la suite (.Y,,) soit égalemcnt répartic, il suffit que la relation (2)
PRIMITIVES ET INTEGRALES
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* 8) Montrer qu'il existe une fonction continue dans (- 1, + 1) admettant une dérivée finie
en tout point de cet intervalle, cette dérivée étant égale à sin - 1 aux points x distincts
(SI.
,lx)
de Ilnx (n entier f O) et de O. (Au voisinage de x - llnx, faire le changement de variable
x =
et utiliscr l'exerc. 7; à l'aide du même changement de variable, montrer
nx + Arc sin u
qu'il existe une constante a > O indépendante de n, telle que
en déduire que si on pose
1
g(x) = ~ i m sin (
:
) dt,
E + O
sin -
g admet au point x = O une dérivée nulle.) .
9 ) Soit f une fonction réglée dans un intervalle compact 1 = (a, O). Montrer que, pour
tout E > O, il existe une fonction g continue dans 1 et telle que fl j(f ( t ) - g ( t ) /j dt < E (se
ramener au cas où f est une fonction en escalier). En déduire qu'il existe un polynôme h
(à coefficients dans E) tel que j : jlf (t) - h ( t ) I/ dt < E.
10) Soit f une fonction réglée dans (a, b), prenant ses valeurs dans E, g une fonction
réglée dans (a, c ) (c > b ) , prenant ses valeurs dans F, et soit (x, y) tt [x. y] une application
bilinéaire continue de E x F dans G (E, F, G espaces normés complets). Montrer que
(se ramener au cas où f est une fonction en escalier).
I I ) Les hypothèses étant les mêmes que dans I'exerc. 10, montrer que, pour tout E > 0,
il existe un nombre p > O tel que pour toute subdivision de (a, O) en intervalles (x,, xl +1) de
longueur < p (O ( i < n - l), on a
quels que soient, pour chaque indice i, les points u,, v, dans (x,, x, , (se ramener au cas où
f et g sont des fonctions en escalier).
7 12) On dit qu'une suite (xn) de nombres réels appartenant à l'intervalle (0, 1) est également
répartie dans cet intervalle si, pour tout couple de nombres cc. p tels que O < cc < p < 1 on a,
en désignant par vn(a, P) le nombre des indices i tels que 1 < i < n et a < x, < jj
vn!. ,
P)
p - a.
lim - =
n + m
12
Montrer que, si la suite (x,) est également répartie, et si f est une fonction réglée dans
(0, 117 on a
1
Iim - Z f(r,) = 1; f (t) dt
n-+ m l = l
(se ramener au cas où f est une fonction en escalier). Réciproque.
Montrer que, pour que la suite (.Y,,) soit égalemcnt répartic, il suffit que la relation (2)