Exercices
1) Soit (f,) un ensemble de fonctions numériques, définies dans un intervalle 1 c W,
admettant chacune une primitive stricte dans 1, et formant un ensemble ordonné filtrant
pour la relation < . Soit f l'enveloppe supérieure de la ramille (f,) ; on suppose qucf admct
une primitivc stricte dans 1. Montrer que, si g, (resp. g) est la prirnitivc de f, (resp. f ) qui
s'annule cn un point xo E 1, g est l'enveloppe supérieure de la famille (g,) dans l'intersection
1 n (xO, +CO( ct son enveloppe inféricure clans I'interscction I n 1 - C O , x,). (En se bornant
au premier de ccs intcrvallcs, montrer que si u cst I'enveloppc supérieure de (g,) dans
1 n (x,, +CO(, on a u(x + h) - U(X) < g(x t 11) - g(x) pour h > O; prouver cnsuite quc,
pour tout or, on a u(x + h) - u(x) 3 g,(x + 11) -- g,(x), et conclure dc cette dernière
inégalité que lim inf (u(x + h) - u(x))/h > f (x); en déduire la proposition.)
h+O
Donner en cxemple de suitc croissante (J,) de ronctions continues dans un intervalle 1,
uniformément bornées, mais dont l'enveloppe supérieure n'admet pas de primitive stricte
dans 1.
2) Montrer que pour qu'une fonction f soit unc fonction en escalier dans un intervalle 1, il
faut et il suffit qu'elle n'ait qu'un nombre fini de pointr de discontinuité, ct soit constante
dans tout intervalle où elle est continue.
3) Soit f une fonction réglée dans un intervalle 1 c W, prenant ses valeurs dans un
espace normé complet E sur R ; montrer que pour toute partie con~pacte H de 1, f (1-1) est
relativement compact dans E ; donner un exemple où f (H) n'est pas fcrmé dans E.
4) Donner un exemple de fonction numérique continue f dans un intervalle compact
1 c R, telle que la fonction composée x I -t sgn (f (x)) ne suit pas réglée dans 1 (bien que sgn
soit réglée dans R).
5) Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle compact 1 = [a, b) c W ,
prenant ses valeurs dans un espace normé complct F,; on dit que f est à variation bornée dans
1 s'il existe un nombre m > O tel que, pour toute suite finie strictemcnt croissante (x,), .,., de
n - 1
points de 1 telle que xo = a et x, = 6, on ait 1 Ilf (x,, , ) - f (x,) 11 < m.
t = o
a) Montrer que f (1) est relativement compact dans E (raisonner par l'absurde).
b) Montrer que 6 est réglCe clans I (prouvcr que lorsque x tend vcrs un point .yo E 1 en
restant >xo, f ne peut avoir deux valeurs d'adhérence distinctes: et utiliser a)).
6) Pour qu'une fonction f, à valeurs dans un cspace normé complet E, ct définie dans
un intervalle ouvert 1 c R, soit égale à une fonction réglée dans 1, en tous lcs points du
complémentaire d'une partie dénombrable de 1, il faut et il suffit qu'elle satisfasse à la condition suivante: pour tout x E 1 et tout E > O, il existe un nombre h > O et deux éléments
a, b de E tels que l'on ait [If (y) - al1 < E pour tout y E (x, x + h), sauf au plus une infinité
dénombrable de points de cct intervalle, et /If (z) - b I I < E pour tout z E (x - 12, x) sauf au
plus une inf nité dénombrable de points de cet intervalle.
* 7) Montrer que la fonction égale à sin (llx) pour x f O, à O pour x = O, admet une
primitive stricte dans R (remarquer que x2 sin (Ilx) admet une dérivée en tout point).
En déduire que, si g(x, u, v) est un polynôme en u, v, à coefficients fonctions continues de
x dans u n intcrvalle 1 contenant O, la fonction égale à g(x, sin llx, cos llx) pour x f O, à une
valeur convenable a (que l'on déterminera) pour x = O, admet une primitive strictc dans 1;
donner un exemple où a f g(0, 0, 0). *
1) Soit (f,) un ensemble de fonctions numériques, définies dans un intervalle 1 c W,
admettant chacune une primitive stricte dans 1, et formant un ensemble ordonné filtrant
pour la relation < . Soit f l'enveloppe supérieure de la ramille (f,) ; on suppose qucf admct
une primitivc stricte dans 1. Montrer que, si g, (resp. g) est la prirnitivc de f, (resp. f ) qui
s'annule cn un point xo E 1, g est l'enveloppe supérieure de la famille (g,) dans l'intersection
1 n (xO, +CO( ct son enveloppe inféricure clans I'interscction I n 1 - C O , x,). (En se bornant
au premier de ccs intcrvallcs, montrer que si u cst I'enveloppc supérieure de (g,) dans
1 n (x,, +CO(, on a u(x + h) - U(X) < g(x t 11) - g(x) pour h > O; prouver cnsuite quc,
pour tout or, on a u(x + h) - u(x) 3 g,(x + 11) -- g,(x), et conclure dc cette dernière
inégalité que lim inf (u(x + h) - u(x))/h > f (x); en déduire la proposition.)
h+O
Donner en cxemple de suitc croissante (J,) de ronctions continues dans un intervalle 1,
uniformément bornées, mais dont l'enveloppe supérieure n'admet pas de primitive stricte
dans 1.
2) Montrer que pour qu'une fonction f soit unc fonction en escalier dans un intervalle 1, il
faut et il suffit qu'elle n'ait qu'un nombre fini de pointr de discontinuité, ct soit constante
dans tout intervalle où elle est continue.
3) Soit f une fonction réglée dans un intervalle 1 c W, prenant ses valeurs dans un
espace normé complet E sur R ; montrer que pour toute partie con~pacte H de 1, f (1-1) est
relativement compact dans E ; donner un exemple où f (H) n'est pas fcrmé dans E.
4) Donner un exemple de fonction numérique continue f dans un intervalle compact
1 c R, telle que la fonction composée x I -t sgn (f (x)) ne suit pas réglée dans 1 (bien que sgn
soit réglée dans R).
5) Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle compact 1 = [a, b) c W ,
prenant ses valeurs dans un espace normé complct F,; on dit que f est à variation bornée dans
1 s'il existe un nombre m > O tel que, pour toute suite finie strictemcnt croissante (x,), .,., de
n - 1
points de 1 telle que xo = a et x, = 6, on ait 1 Ilf (x,, , ) - f (x,) 11 < m.
t = o
a) Montrer que f (1) est relativement compact dans E (raisonner par l'absurde).
b) Montrer que 6 est réglCe clans I (prouvcr que lorsque x tend vcrs un point .yo E 1 en
restant >xo, f ne peut avoir deux valeurs d'adhérence distinctes: et utiliser a)).
6) Pour qu'une fonction f, à valeurs dans un cspace normé complet E, ct définie dans
un intervalle ouvert 1 c R, soit égale à une fonction réglée dans 1, en tous lcs points du
complémentaire d'une partie dénombrable de 1, il faut et il suffit qu'elle satisfasse à la condition suivante: pour tout x E 1 et tout E > O, il existe un nombre h > O et deux éléments
a, b de E tels que l'on ait [If (y) - al1 < E pour tout y E (x, x + h), sauf au plus une infinité
dénombrable de points de cct intervalle, et /If (z) - b I I < E pour tout z E (x - 12, x) sauf au
plus une inf nité dénombrable de points de cet intervalle.
* 7) Montrer que la fonction égale à sin (llx) pour x f O, à O pour x = O, admet une
primitive stricte dans R (remarquer que x2 sin (Ilx) admet une dérivée en tout point).
En déduire que, si g(x, u, v) est un polynôme en u, v, à coefficients fonctions continues de
x dans u n intcrvalle 1 contenant O, la fonction égale à g(x, sin llx, cos llx) pour x f O, à une
valeur convenable a (que l'on déterminera) pour x = O, admet une primitive strictc dans 1;
donner un exemple où a f g(0, 0, 0). *