FVR 11.28
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
5 3
Supposons maintenant que A = (c, d ) soit un intervalle compact dans R, 1 un
intervalle quelconque dans 48; soit f une fonction continue dans 1 x A, à valeurs
dans E, telle que l'intégrale f ( a ) = JI f (t, a ) dt soit convergente pour tout a E A;
même si g(a) est continue dans A, on ne peut pas toujours intervertir les intégrations dans l'intégrale Scd da JI f (t, a ) dt, car l'intégrale JI dt Jf f (t, a ) da peut ne pas
exister, ou être distincte de l'intégrale 1; doc JI f (t, a) dt (cf. I I , p. 36, exerc. 7 ) .
O n a toutefois le résultat suivant:
PROPOSITION 9. - Si la fonction f est continue dans 1 x A, et si l'intégrale f (t, a ) dt
est unijirmément convergente dans A, l'intégrale JI dt Se f (t, oc) da est ronaergente, et on a
Scd da f (t, a ) dt = SI dt Scd f (t, a) da.
Pour tout intervalle compact J contenu dans 1, posons =,(a) = JJ f (t, a ) dt.
L'hypothèse entraîne que suivant le filtre des sections @ de l'ordonné filtrant k ( I ) ,
la fonction continue æaJ converge uniformément dans A vers JI f (t, a ) dt; donc
( I I , p. 19, prop. l), Jf dor JJ f ( t , a ) dt a pour limite da JI f ( t , a ) dt suivant @;
mais, d'après la prop. 8 ( I I , p. 27), on a
Le résultat précédent signifie donc que l'intégrale JI dt If f (t, a ) da est convergente, et en passant à la limite suivant dans la relation (18), on obtient (17).
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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Supposons maintenant que A = (c, d ) soit un intervalle compact dans R, 1 un
intervalle quelconque dans 48; soit f une fonction continue dans 1 x A, à valeurs
dans E, telle que l'intégrale f ( a ) = JI f (t, a ) dt soit convergente pour tout a E A;
même si g(a) est continue dans A, on ne peut pas toujours intervertir les intégrations dans l'intégrale Scd da JI f (t, a ) dt, car l'intégrale JI dt Jf f (t, a ) da peut ne pas
exister, ou être distincte de l'intégrale 1; doc JI f (t, a) dt (cf. I I , p. 36, exerc. 7 ) .
O n a toutefois le résultat suivant:
PROPOSITION 9. - Si la fonction f est continue dans 1 x A, et si l'intégrale f (t, a ) dt
est unijirmément convergente dans A, l'intégrale JI dt Se f (t, oc) da est ronaergente, et on a
Scd da f (t, a ) dt = SI dt Scd f (t, a) da.
Pour tout intervalle compact J contenu dans 1, posons =,(a) = JJ f (t, a ) dt.
L'hypothèse entraîne que suivant le filtre des sections @ de l'ordonné filtrant k ( I ) ,
la fonction continue æaJ converge uniformément dans A vers JI f (t, a ) dt; donc
( I I , p. 19, prop. l), Jf dor JJ f ( t , a ) dt a pour limite da JI f ( t , a ) dt suivant @;
mais, d'après la prop. 8 ( I I , p. 27), on a
Le résultat précédent signifie donc que l'intégrale JI dt If f (t, a ) da est convergente, et en passant à la limite suivant dans la relation (18), on obtient (17).