No 6
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.27
fonction a t-I f, (t, a) dt converge uniformément dans V suivant le filtre des
sections 0 de l'ordonné filtrant h(1) des intervalles compacts J contenus dans 1.
Posons u, (a) = 1, f(t, ~ ) d t ; les hypothèses montrent d'une part que u,(a,) a
une limite suivant @, et d'autre part, en vertu de la prop. 5 de II, p. 24, que
u;(cc) = 1, f: (t, a) dt pour tout a E V. Nous pouvons donc appliquer le th. 1 de
II, P. 2, aux fonctions a i , , le rôle de l'ensemble d'indices étant tenu ici par k(I),
celui du filtre sur cet ensemble par le filtre @; la proposition en résulte aussitôt.
Remarques. - 1) Les conditions lo r t 2 O de la prop. 7 sont remplies a fortiori
lorsque fa ( x , x ) est fonction continue de (Y, a) dans 1 x V.
2) Lorsque, dans unc intégrale
f(t, a ) dt, les extrémités de l'intervalle
d'intégration sont des fonctions Jinies du paramètre, l'étude de cctte intégrale en
fonction de x peul se rattacher à celle d'une intégrale dans (O, 1); en effet, par le
changement de variable t = a(a) (1 - u) + b(a)u, on a
!
a
< :
: f (t, E ) dt r= Ji f (a(%) (1 -- u) + b(z)u, a) (b(a) - a(a)) du.
6. Interversion des intégrations
Soient 1 = (a, b ) et A = [c, d ) deux intervalles compacts de R; soit 6. une fonction
continue dans I x A, à valeurs dans un espace normé complet E sur R; d'après la
prop. 2 de II, p. 19, J": f (x, a) dv est fonction continue de a dans A; son intégrale
f O( f : f(x, a) dx)da se note aussi, pour simplifirr (C da / , b f(x, a) dv.
PROPOSITION 8. - Si f est continue clans 1 x A, on a
(<( formule d'in tcrversion cles intégrations D) .
Nous allons montrer que, pour tout y E A, on a
Comme les deux membres de (16) sont des fonctions de y égales pour y = c, il
suffira de prouver qu'elles sont dérivables dans )c, d( et que leurs dérivées sont
égales en tout point de cet intervalle. Si on pose g(a) = f(.x, a) dx, h(x, y) =
1 ; f (x, K) dx, la relation (16) s'écrit
Or, la dérivée du premier membre par rapport à y est $(y), celle du second
est 1: hj(x, y) dx d'après II, p. 25, corollaire, puisque hj(x, y) = f(x, y) est continue dans 1 x A; les deux expressions ainsi obtenues sont bien identiques.
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.27
fonction a t-I f, (t, a) dt converge uniformément dans V suivant le filtre des
sections 0 de l'ordonné filtrant h(1) des intervalles compacts J contenus dans 1.
Posons u, (a) = 1, f(t, ~ ) d t ; les hypothèses montrent d'une part que u,(a,) a
une limite suivant @, et d'autre part, en vertu de la prop. 5 de II, p. 24, que
u;(cc) = 1, f: (t, a) dt pour tout a E V. Nous pouvons donc appliquer le th. 1 de
II, P. 2, aux fonctions a i , , le rôle de l'ensemble d'indices étant tenu ici par k(I),
celui du filtre sur cet ensemble par le filtre @; la proposition en résulte aussitôt.
Remarques. - 1) Les conditions lo r t 2 O de la prop. 7 sont remplies a fortiori
lorsque fa ( x , x ) est fonction continue de (Y, a) dans 1 x V.
2) Lorsque, dans unc intégrale
f(t, a ) dt, les extrémités de l'intervalle
d'intégration sont des fonctions Jinies du paramètre, l'étude de cctte intégrale en
fonction de x peul se rattacher à celle d'une intégrale dans (O, 1); en effet, par le
changement de variable t = a(a) (1 - u) + b(a)u, on a
!
a
< :
: f (t, E ) dt r= Ji f (a(%) (1 -- u) + b(z)u, a) (b(a) - a(a)) du.
6. Interversion des intégrations
Soient 1 = (a, b ) et A = [c, d ) deux intervalles compacts de R; soit 6. une fonction
continue dans I x A, à valeurs dans un espace normé complet E sur R; d'après la
prop. 2 de II, p. 19, J": f (x, a) dv est fonction continue de a dans A; son intégrale
f O( f : f(x, a) dx)da se note aussi, pour simplifirr (C da / , b f(x, a) dv.
PROPOSITION 8. - Si f est continue clans 1 x A, on a
(<( formule d'in tcrversion cles intégrations D) .
Nous allons montrer que, pour tout y E A, on a
Comme les deux membres de (16) sont des fonctions de y égales pour y = c, il
suffira de prouver qu'elles sont dérivables dans )c, d( et que leurs dérivées sont
égales en tout point de cet intervalle. Si on pose g(a) = f(.x, a) dx, h(x, y) =
1 ; f (x, K) dx, la relation (16) s'écrit
Or, la dérivée du premier membre par rapport à y est $(y), celle du second
est 1: hj(x, y) dx d'après II, p. 25, corollaire, puisque hj(x, y) = f(x, y) est continue dans 1 x A; les deux expressions ainsi obtenues sont bien identiques.