FVR 11.26
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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D'après la formule de la moyenne ( I I , p. 12, formule (1 7)), on a donc
et par suite
/ / 2
f (t, a) dt - b' ( a o ) f (b (a,), a,) 1 1 < 2Mî
- @O b(uo)
&!~~, f (t, a ) dt tend vers bl(ao)f (b (a,), ao) . De la
ce qui montre que -
a - a,
1
même manière, on montre que - f
:
:
:
:
,
f(t, a ) dt tend vers al(a,)f(a(ao), a,).
a - a,
5. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle non
compact
L'ensemble V ayant la même signification que dans la prop. 5 de I I , p. 24,
supposons maintenant que 1 soit un intervalle quelconque de R, f une application
continue de 1 x V dans E ; si l'intégrale g ( a ) = J; f (t, a ) dt existe pour tout a E V
et est fonction continue de a, la fonction g n'a pas nécessairement au point a, une
dérivée égale à JI f; (t, a,) dt, même si f: (x, a ) converge uniformément vers f: (x, a,)
dans tout intervalle compact contenu dans 1, et si l'intégrale fI f: (t, a ) dt existe
pour tout a E V (cf. I I , p. 35, exerc. 3 ) .
Une condition suffisante pour que la formule (12) ( I I , p. 24) soit encore
valable dans ce cas est donnée par la proposition suivante:
PROPOSITION 7. - Soit I un intervalle quelconque de R, f une fonction continue dans
1 x V . On suppose que :
l 0 la dérivée partielle f; (x, a ) existe pour tout x E 1 et tout a E V , et, pour tout a E V ,
l'application x t+ f; (x, a ) est réglée dans 1 ;
2O pour tout a E V , f: (x, P) converge un$ormément vers f: (x, a ) dans tout intervalle
compact contenu dans 1, lorsque P tend vers a ;
3O l'intégrale f, f i (t, a ) dt est uniformément convergente dans V ;
4O l'integrale JI f (t, a,) dt est convergente.
Dans ces conditions, l'intégrale g ( a ) = JI f (t, a ) dt est uniformément convergente dans
V , et la fonction g admet en tout point de V une dérivée donnée par la formule
La convergence uniforme dans V de l'intégrale f; (t, a ) dt signifie que la