No 4
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.25
entraîne Ilfa (x, a ) - f; (x, a,) I I < E quel que soit x E 1. D'après les prop. 3 et 5 de 1,
p. 25, on a, pour la - a,/ < r ( a # a,) et pour tout x E 1
ce qui prouve la convergence uniforme de
f ( % , a ) - f (x, a,) vers f; (x, a,) dans 1
a - a,
lorsque a tend vers a, (en restant # a,), et établit donc la formule (12).
COROLLAIRE. - Si la dérivée partielle f; (x, a) existe dans 1 x V et est fonction continue
de (x, a ) dans cet ensemble, la fonction g admet au foint a, une dérivée donnée par la formule
(12).
En effet, si MT est un voisinage compact de cc, contenu dans V, l'application
(x, cc) t-f $4 (x, cc) est uniformément continue dans l'ensemble compact 1 x W, donc
fi (x, a ) tend uniformément vers f; (x, a,) dans 1 lorsque a tend vers a,.
De la prop. 5, on déduit une proposition plus générale permettant de calculer
la dérivée d' une intégrale lorsque, non seulement la fonction intégrée f, mais aussi
les limites d'intégration, dépendent du paramètre cc:
PROPOSITION 6. - Les conditions de la prop. 5 étant sufiposées vérgées, soient a(&), b(a)
deux fonctions déJilzies dans V, à valeurs dans 1; si les dérivées ar(a,), bf(a,) existent et
sont .finies, la jimction g ( a ) = s a: , " ; f (t, a)dt admet au point a, une dérivée donnée par la
formule
En effet, pour tout a E V distinct de a,, on peut écrire
D'après la prop. 5 de I I , p. 24, la première intégrale du second membre tend vers
c:z:; f; (t, a,) dt lorsque a tend vers a,. Dans la seconde, nous allons remplacer
f(t, a ) par f(b(a,), a,), et montrer que la différence tend vers O. Posons M =
Max(ljf (b(a,), a,) 11, 1 br(a,) 1 + 1) ; la fonction b(a) étant continue au point a,,
et la fonction f continue au point (b(a,), a,), pour tout E tel que O < E < 1, il existe
r > O tel que la relation la - a,/ < r entraîne Ilf (t, a ) - f (b(ao), a,) 1 1 < E
pour tout t appartenant à l'intervalle d'extrémités b(cr,) et b ( a ) ; on peut aussi
supposer que la relation la - a,l < r entraîne 1 b(4 ) - b(ao) - bl(a,) 1 < E.
a - a,
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.25
entraîne Ilfa (x, a ) - f; (x, a,) I I < E quel que soit x E 1. D'après les prop. 3 et 5 de 1,
p. 25, on a, pour la - a,/ < r ( a # a,) et pour tout x E 1
ce qui prouve la convergence uniforme de
f ( % , a ) - f (x, a,) vers f; (x, a,) dans 1
a - a,
lorsque a tend vers a, (en restant # a,), et établit donc la formule (12).
COROLLAIRE. - Si la dérivée partielle f; (x, a) existe dans 1 x V et est fonction continue
de (x, a ) dans cet ensemble, la fonction g admet au foint a, une dérivée donnée par la formule
(12).
En effet, si MT est un voisinage compact de cc, contenu dans V, l'application
(x, cc) t-f $4 (x, cc) est uniformément continue dans l'ensemble compact 1 x W, donc
fi (x, a ) tend uniformément vers f; (x, a,) dans 1 lorsque a tend vers a,.
De la prop. 5, on déduit une proposition plus générale permettant de calculer
la dérivée d' une intégrale lorsque, non seulement la fonction intégrée f, mais aussi
les limites d'intégration, dépendent du paramètre cc:
PROPOSITION 6. - Les conditions de la prop. 5 étant sufiposées vérgées, soient a(&), b(a)
deux fonctions déJilzies dans V, à valeurs dans 1; si les dérivées ar(a,), bf(a,) existent et
sont .finies, la jimction g ( a ) = s a: , " ; f (t, a)dt admet au point a, une dérivée donnée par la
formule
En effet, pour tout a E V distinct de a,, on peut écrire
D'après la prop. 5 de I I , p. 24, la première intégrale du second membre tend vers
c:z:; f; (t, a,) dt lorsque a tend vers a,. Dans la seconde, nous allons remplacer
f(t, a ) par f(b(a,), a,), et montrer que la différence tend vers O. Posons M =
Max(ljf (b(a,), a,) 11, 1 br(a,) 1 + 1) ; la fonction b(a) étant continue au point a,,
et la fonction f continue au point (b(a,), a,), pour tout E tel que O < E < 1, il existe
r > O tel que la relation la - a,/ < r entraîne Ilf (t, a ) - f (b(ao), a,) 1 1 < E
pour tout t appartenant à l'intervalle d'extrémités b(cr,) et b ( a ) ; on peut aussi
supposer que la relation la - a,l < r entraîne 1 b(4 ) - b(ao) - bl(a,) 1 < E.
a - a,