FVR 11.24
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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pour tout x E I et tout n; par suite, la somme f de la série de terme général
un est une fonction réglée dans 1 telle que l'intégrale JI f(t) dt soit convergente,
et on a
(((intégration terme à terme d'une série dans un intervalle non compact ))).
4. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle compact
Soient A un voisinage compact d'un point a, dans le corps (resp. le corps C ) ,
1 = (a, b ) un intervalle compact dans R, f une application continue de I x A dans
un espace normé complet E sur R (resp. @). On a vu (II, p. 19, prop. 2) que, dans
ces conditions, g(a) = fa f(t, a) dt est une fonction continue dans A. Cherchons des
conditions su$santes pour que g admette une dérivée au point a,. On a, pour a # a,
donc (II, p. 19, cor. 2), si les fonctions x H
f (x, a) - f (x9 a,)
-- convergent uniforméa - a,
ment dans 1 vers une fonction (nécessairement continue) x K- h(x) lorsque a tend
vers a, (en restant # a,), g admet une dérivée égale à h(t) dt au point a,;
d'ailleurs, pour chaque x E 1, (" a) -
tend vers h(x), donc h(x) est la
a - a,
dérivée au point a, de l'application a F+ f (x, a) ; nous désignerons cette dérivée
(dite dérivée partielle de f par rapport à a) par la notation fk (x, a,) ; les hypothèses
faites entraînent donc que
La proposition suivant donne une condition sufisante plus simple pour la
validité de la formule (12) :
PROPOSITION 5. - On suppose que la dérivée partielle fi (a, x) existe pour tout x E 1 et
tout a appartenant à un voisinage ouvert V de a,, et que, pour tout a E V, l'application
x t t f; (x, a) soit réglée dans 1. Dans ces conditions, si x t+ f: (x, a) converge uniformément
dans 1 vers x H (x, a,) lorsque a tend vers a,, lahnction g(a) = !
a f (t, a) dt admet
au point a, une dérivée donnée par la formule (1 2).
En effet, pour tout E > O, il existe par hypothèse r > O tel que la - a,/ < r