No 3
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.23
En particulier :
PROPOSITION 4 (((continuité d'une intégrale impropre par rapport au paramètre )>). - Soient F un espace compact, 1 un interualle quelconque de R, f une application
continue de 1 x F dans un espace normé complet E sur R ; si I'integrale h(a) = 1, f (x, ci) dx
est uniformément convergente dans F, elle est fonction continue de a dans F.
Compte tenu de la prop. 2 de II, p. 19, cette proposition résulte aussi de la continuité d'une limite uniforme de fonctions continues (TG, X, p. 9, th. 2).
3 . Intégrales normalement convergentes
Soit (fa) A une famille de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1 c R,
à valeurs dans un espace normé complet E sur R. Supposons qu'il existe une
fonction numérique finie g réglée dans 1, telle, que, pour tout x E 1 et tout
a E A, on ait Ilf,(x) 1 1 6 g(x) et que l'intégrale 1, g(t) dt soit convergente. Dans ces
conditions, l'intégrale SI f, (t) dt est absolument et uniformément convergente dans A; en
effet, pour tout intervalle compact K contenu dans 1, on a
et la convergence de l'intégrale J", g(t) dt entraîne que, pour tout E > O, il existe un
intervalle compact J c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 ne rencontrant pas J, on ait f , g(t) dt < E. Lorsqu'il existe une fonction numérique g
ayant les propriétés précédentes, on dit que l'intégrale SI f,(t) dt est normalement conuergente dans A (cf. TG ,X, p. 22).
Une intégrale peut être uniformément convergente dans A sans être normalement
convergente. * C'est ce qui se passe pour la suite (f,) de fonctions numériques définies
par les conditions fn(x) = l/x pour n < x < n + 1, fn(x) = O pour les autres valeurs
de x dans 1 = (1, +CO(. Il est immédiat que l'intégrale j T fn(t) dt est uniformément
convergente, mais elle n'est pas normalement convergente, car la relation&) > fn(x)
pour tout x E 1 et tout n entraîne g(x) 3 llx, et par suite l'intégrale de g dans 1 n'est
pas convergente.*
En particulier, considérons une série dont le terme général un est une fonction
réglée dans l'intervalle 1, et supposons que la série de terme général Ilun(x) I I (qui
est une fonction réglée dans 1) converge uniformément dans tout intervalle
compact contenu dans 1, et soit telle que la série de terme général f, llu,(t) I I dt soit
convergente; alors (II, p. 16, prop. 2) la fonction (réglée) g(x), somme de la série
de terme général I l un(x) 11, est telle que l'intégrale JI g(t) dt soit convergente. Si on
n
pose f = 2 u , , l'intégrale ffl(t) dt est normalement conuergmte, car on a
p = 1
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.23
En particulier :
PROPOSITION 4 (((continuité d'une intégrale impropre par rapport au paramètre )>). - Soient F un espace compact, 1 un interualle quelconque de R, f une application
continue de 1 x F dans un espace normé complet E sur R ; si I'integrale h(a) = 1, f (x, ci) dx
est uniformément convergente dans F, elle est fonction continue de a dans F.
Compte tenu de la prop. 2 de II, p. 19, cette proposition résulte aussi de la continuité d'une limite uniforme de fonctions continues (TG, X, p. 9, th. 2).
3 . Intégrales normalement convergentes
Soit (fa) A une famille de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1 c R,
à valeurs dans un espace normé complet E sur R. Supposons qu'il existe une
fonction numérique finie g réglée dans 1, telle, que, pour tout x E 1 et tout
a E A, on ait Ilf,(x) 1 1 6 g(x) et que l'intégrale 1, g(t) dt soit convergente. Dans ces
conditions, l'intégrale SI f, (t) dt est absolument et uniformément convergente dans A; en
effet, pour tout intervalle compact K contenu dans 1, on a
et la convergence de l'intégrale J", g(t) dt entraîne que, pour tout E > O, il existe un
intervalle compact J c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 ne rencontrant pas J, on ait f , g(t) dt < E. Lorsqu'il existe une fonction numérique g
ayant les propriétés précédentes, on dit que l'intégrale SI f,(t) dt est normalement conuergente dans A (cf. TG ,X, p. 22).
Une intégrale peut être uniformément convergente dans A sans être normalement
convergente. * C'est ce qui se passe pour la suite (f,) de fonctions numériques définies
par les conditions fn(x) = l/x pour n < x < n + 1, fn(x) = O pour les autres valeurs
de x dans 1 = (1, +CO(. Il est immédiat que l'intégrale j T fn(t) dt est uniformément
convergente, mais elle n'est pas normalement convergente, car la relation&) > fn(x)
pour tout x E 1 et tout n entraîne g(x) 3 llx, et par suite l'intégrale de g dans 1 n'est
pas convergente.*
En particulier, considérons une série dont le terme général un est une fonction
réglée dans l'intervalle 1, et supposons que la série de terme général Ilun(x) I I (qui
est une fonction réglée dans 1) converge uniformément dans tout intervalle
compact contenu dans 1, et soit telle que la série de terme général f, llu,(t) I I dt soit
convergente; alors (II, p. 16, prop. 2) la fonction (réglée) g(x), somme de la série
de terme général I l un(x) 11, est telle que l'intégrale JI g(t) dt soit convergente. Si on
n
pose f = 2 u , , l'intégrale ffl(t) dt est normalement conuergmte, car on a
p = 1