FVR 11.22
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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Cette définition équivaut à dire que la famille des applications u H jJ f,(t) dt
est uniformément convergente dans A (vers l'application u tt II f,(t) dt) suivant le
filtre des sections @ de @ ( I ) ; chacune des intégrales 1, f,(t) est afortiori convergente
(la réciproque étant inexacte). E n outre, d'après ce que nous venons de voir
(ou d'après TG, X , p. 8, cor. 2 ) :
PROPOSITION 3. - Soit (f,) une famille de fonctions réglées dans un intervalle 1, telles que:
lo suivant lejltre 8, la famille ( f a ) converge uniformément vers une fonction f (réglée dans
1) dans tout intervalle compact contenu dans 1 ; 2O l'intégrale fI f,(t) dt soit uniformément
convergente pour tout u E A. Dans ces conditions, l'intégrale f, f ( t ) dt est convergente, et on a
Les conditions de la prop. 3 sont remplies par exemple lorsque 1 est un intervalle
borné, que les fa sont uniformément bornées dans 1, et convergent uniformément vers f
dans tout intervalle compact contenu dans 1; en effet, si lIf,(x) 11 $ h pour tout x E 1
et tout CL, et si J O est tel que la différence entre les longueurs de 1 et de JO soit $ ~ / h ,
la condition ( 7 ) est vérifiée pour tout intervalle K c 1 sans point intérieur commun
avec JO.
C o m m e pour la prop. 1 de I I , p. 19, deux corollaires de la prop. 3 sont importants dans les applications :
COROLLAIRE 1. - Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1,
uniformément convergente vers une fonction f dans tout intervalle compact contenu dans 1; si
l'intégrale JI f,(t) dt est uniformément convergente, l'intégrale fI f ( t ) dt est convergente,
et on a
i i m fn(t) dt = jI f(t) dt.
n-. m
Remarque. -Les hypothèses faites dans ce corollaire sont suffisantes, mais non
nécessaires pour la validité de la formule (9); nous généraliserons plus tard cette
formule en même temps que la notion d'intégrale (voir INT, IV), et obtiendrons des
conditions beaucoup moins restrictives.
COROLLAIRE 2. - Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de
1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle que, pour tout a E A, la fonction
x tt f (x, a) soit réglée dans 1. Si, d'une part, les fonctions x i-t f (x, a) convergent uniformément, dans tout intervalle compact contenu dans 1, vers une fonction x ++ f ( x ) ,
lorsque u tend vers u, E A en restant dans A; si, d'autre part, l'intégrale fI f (x, a ) dx est
uniformément convergente dans A, alors l'intégrale f, f ( x ) dx est convergente, et on a
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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Cette définition équivaut à dire que la famille des applications u H jJ f,(t) dt
est uniformément convergente dans A (vers l'application u tt II f,(t) dt) suivant le
filtre des sections @ de @ ( I ) ; chacune des intégrales 1, f,(t) est afortiori convergente
(la réciproque étant inexacte). E n outre, d'après ce que nous venons de voir
(ou d'après TG, X , p. 8, cor. 2 ) :
PROPOSITION 3. - Soit (f,) une famille de fonctions réglées dans un intervalle 1, telles que:
lo suivant lejltre 8, la famille ( f a ) converge uniformément vers une fonction f (réglée dans
1) dans tout intervalle compact contenu dans 1 ; 2O l'intégrale fI f,(t) dt soit uniformément
convergente pour tout u E A. Dans ces conditions, l'intégrale f, f ( t ) dt est convergente, et on a
Les conditions de la prop. 3 sont remplies par exemple lorsque 1 est un intervalle
borné, que les fa sont uniformément bornées dans 1, et convergent uniformément vers f
dans tout intervalle compact contenu dans 1; en effet, si lIf,(x) 11 $ h pour tout x E 1
et tout CL, et si J O est tel que la différence entre les longueurs de 1 et de JO soit $ ~ / h ,
la condition ( 7 ) est vérifiée pour tout intervalle K c 1 sans point intérieur commun
avec JO.
C o m m e pour la prop. 1 de I I , p. 19, deux corollaires de la prop. 3 sont importants dans les applications :
COROLLAIRE 1. - Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1,
uniformément convergente vers une fonction f dans tout intervalle compact contenu dans 1; si
l'intégrale JI f,(t) dt est uniformément convergente, l'intégrale fI f ( t ) dt est convergente,
et on a
i i m fn(t) dt = jI f(t) dt.
n-. m
Remarque. -Les hypothèses faites dans ce corollaire sont suffisantes, mais non
nécessaires pour la validité de la formule (9); nous généraliserons plus tard cette
formule en même temps que la notion d'intégrale (voir INT, IV), et obtiendrons des
conditions beaucoup moins restrictives.
COROLLAIRE 2. - Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de
1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle que, pour tout a E A, la fonction
x tt f (x, a) soit réglée dans 1. Si, d'une part, les fonctions x i-t f (x, a) convergent uniformément, dans tout intervalle compact contenu dans 1, vers une fonction x ++ f ( x ) ,
lorsque u tend vers u, E A en restant dans A; si, d'autre part, l'intégrale fI f (x, a ) dx est
uniformément convergente dans A, alors l'intégrale f, f ( x ) dx est convergente, et on a