No 2
INTÉGRALES DEPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.21
l'existence de la limite de l'application (J, a) i-t JJ f,(t) dt suivant le jltre produit
x 8 (TG, 1, p. 58, cor. du th. 1). Nous allons transformer cette condition
en une condition équivalente plus maniable.
En premier lieu, comme E est complet, pour que (J, a) tt JJ f,(t) dt ait une
limite suivant 0 x 8, il faut et il suffit que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c 1 et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient les éléments a, p de M ct l'intervalle compact J 3 JO contenu dans 1, on ait
Nous allons montrer d'autre part que cette condition est elle-même équivalente à la condition suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle compact
JO c I et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient a E M ct l'intervalle
compact J 3 JO contenu dans 1, on ait
Il est évident en effet que cette dernière condition est nécessaire; inversement,
si elle est satisfidite, il existe (en vertu dc la convergence uniforme de (fa) dans tout
intervalle compact) un ensemble N E 8 tel que, quels que soient a, P dans N,
on ait
et par suite, on a /lJJo f,(t) dt - IJ &(t) dtll < 2~ quels que soient a et f~ dans
M n N E 8 et quel que soit l'intervalle compact J 2 JO.
Enfin, le lemme de II, p. 16 nous permet de mettre la dernière condition
trouvée sous la forme équivalente suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle
compact JO c 1 et un ensemble M E 8 (dépendant de E ) tels que, pour tout interualle
compact K c 1 n'ayant aucun point intérieur commun avec JO, et tout a E M , on ait
IIJ, fE(t) d~ll 6
Le plus souvent, on utilise une condition plus restrictive, obtenue en supposant,
dans l'énoncé précédent, que l'ensemble M ne dépendepas de E :
DÉFINITION 1. - On dit que l'intégrale 1, fw(t) dt est uniformément convergente pour a E A
(ou uniformémeni convergente dans A) si, pour tout E > O, il existe un interualle compact
JO c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 sans point intérieur commun avec JO, et
tout a E A, on ait
INTÉGRALES DEPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR 11.21
l'existence de la limite de l'application (J, a) i-t JJ f,(t) dt suivant le jltre produit
x 8 (TG, 1, p. 58, cor. du th. 1). Nous allons transformer cette condition
en une condition équivalente plus maniable.
En premier lieu, comme E est complet, pour que (J, a) tt JJ f,(t) dt ait une
limite suivant 0 x 8, il faut et il suffit que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c 1 et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient les éléments a, p de M ct l'intervalle compact J 3 JO contenu dans 1, on ait
Nous allons montrer d'autre part que cette condition est elle-même équivalente à la condition suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle compact
JO c I et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient a E M ct l'intervalle
compact J 3 JO contenu dans 1, on ait
Il est évident en effet que cette dernière condition est nécessaire; inversement,
si elle est satisfidite, il existe (en vertu dc la convergence uniforme de (fa) dans tout
intervalle compact) un ensemble N E 8 tel que, quels que soient a, P dans N,
on ait
et par suite, on a /lJJo f,(t) dt - IJ &(t) dtll < 2~ quels que soient a et f~ dans
M n N E 8 et quel que soit l'intervalle compact J 2 JO.
Enfin, le lemme de II, p. 16 nous permet de mettre la dernière condition
trouvée sous la forme équivalente suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle
compact JO c 1 et un ensemble M E 8 (dépendant de E ) tels que, pour tout interualle
compact K c 1 n'ayant aucun point intérieur commun avec JO, et tout a E M , on ait
IIJ, fE(t) d~ll 6
Le plus souvent, on utilise une condition plus restrictive, obtenue en supposant,
dans l'énoncé précédent, que l'ensemble M ne dépendepas de E :
DÉFINITION 1. - On dit que l'intégrale 1, fw(t) dt est uniformément convergente pour a E A
(ou uniformémeni convergente dans A) si, pour tout E > O, il existe un interualle compact
JO c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 sans point intérieur commun avec JO, et
tout a E A, on ait