FVR 11.20
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
§ 3
2. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle non compact
Le th. 1 de II, p. 2 s'applique à des fonctions plus générales que les fonctions réglées, puisqu'il suppose seulement que ces fonctions admettent des primitives. O n
voit donc en particulier que la prop. 1 de II, p. 19 s'applique encore lorsque, dans
un intervalle 1 c R, les fonctions f, sont seulement supposées réglées par morceaux
et admettant une intégrale dans 1; toutefois, ce résultat suppose que soient vérifiées
les deux autres hypothèses de la prop. 1, savoir: l0 1 est un intervalle borné; 2 O les f,
convergent uniformément dans 1 vers f. La formule (1) de II, p. 19 peut être
inexacte lorsque l'une de ces conditions cesse d'être remplie : il peut se faire alors que
l'un ou l'autre des deux membres n'existe pas, ou qu'ils existent tous deux mais
aient des valeurs distinctes.
Par exemple, si f , est la fonction réglée dans )O, 11, définie par f,(x) = n pour
O < x < I/n, fn(x) = O pour I/a < x , ( 1, la suite (f,) converge vers O un2formément dans tout intervalle compact contenue dans )O, 11, mais non uniformément dans
)O, l), et on a Ji f,(t) dt = 1 pour tout n. O n aurait un exemple où JD f n ( t ) f
ne tend vers aucune limite en remplaçant la suite (f,) précédente par la suite
((- l)nfn) qui converge encore uniformément vers O dans tout intervalle compact
contenu dans )O, 1).
D'autre part, dans l'intervalle non borné 1 = (O, +CO(, soit f , la fonction réglée
telle que fn(x) = l l n pour n2 < x , ( ( n + 1)2 et fn(x) = O pour toute autre valeur
de x dans 1 ( n 2 1) ; la suite (f,) converge uniformément vers O dans 1, mais l'intégrale J " : f n ( t ) dt = (Zn + 1)ln tend vers 2 lorsque n croît indéfiniment.
En d'autres termes, lorsque 1 est non borné, si on désigne par 9 l'espace vectoriel
formé des fonctions f réglées dans 1, à valeurs dans E, et admettant une intégrale
dans 1, l'application f i-t JI f ( t ) dt n'est pas continue lorsqu'on munit 9 de la topologie
de la convergence uniforme dans 1 (cf. II, p. 4, cor. 2).
Nous allons chercher des conditions su@antes pour assurer la validité de la
prop. 1, sous les hypothèses suivantes :
l o 1 est un intervalle quelconque de R, f, est réglée dans 1, et admet dans 1
une intégrale;
2 O suivant le filtre 8, la famille (f,) converge uniformément vers f dans tout
intervalle compact contenu dans 1.
Désignant alors par ~ ( 1 )
l'ensemble ordonné filtrant des intervalles compacts
contenus dans 1 (II, p. 15), le premier membre de la formule (1) de II, p. 19 peut
s'écrire limg (lim 1 f (t) dt) ; d'autre part compte tenu de la prop. 1 (II, p. 19)
J E R U )
et du fait que la famille (f,) est uniformément convergente dans tout
intervalle compact J c 1, le second membre de (1) (II, p. 19) peut s'écrire
lirn (lim8 JJ f,(t) dt). O n voit donc que la prop. 1 de 11, p. 19 s'étendra
J PU)
lorsquYon pourra intervertir les limites de l'application (J, a ) t-t j , f,(t) dt suivant le
filtre 8, et suivant le filtre des sections @ de l'ordonné filtrant !@(I).Or, nous
connaissons une condition su$sante pour que cette interversion soit licite, savoir
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
§ 3
2. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle non compact
Le th. 1 de II, p. 2 s'applique à des fonctions plus générales que les fonctions réglées, puisqu'il suppose seulement que ces fonctions admettent des primitives. O n
voit donc en particulier que la prop. 1 de II, p. 19 s'applique encore lorsque, dans
un intervalle 1 c R, les fonctions f, sont seulement supposées réglées par morceaux
et admettant une intégrale dans 1; toutefois, ce résultat suppose que soient vérifiées
les deux autres hypothèses de la prop. 1, savoir: l0 1 est un intervalle borné; 2 O les f,
convergent uniformément dans 1 vers f. La formule (1) de II, p. 19 peut être
inexacte lorsque l'une de ces conditions cesse d'être remplie : il peut se faire alors que
l'un ou l'autre des deux membres n'existe pas, ou qu'ils existent tous deux mais
aient des valeurs distinctes.
Par exemple, si f , est la fonction réglée dans )O, 11, définie par f,(x) = n pour
O < x < I/n, fn(x) = O pour I/a < x , ( 1, la suite (f,) converge vers O un2formément dans tout intervalle compact contenue dans )O, 11, mais non uniformément dans
)O, l), et on a Ji f,(t) dt = 1 pour tout n. O n aurait un exemple où JD f n ( t ) f
ne tend vers aucune limite en remplaçant la suite (f,) précédente par la suite
((- l)nfn) qui converge encore uniformément vers O dans tout intervalle compact
contenu dans )O, 1).
D'autre part, dans l'intervalle non borné 1 = (O, +CO(, soit f , la fonction réglée
telle que fn(x) = l l n pour n2 < x , ( ( n + 1)2 et fn(x) = O pour toute autre valeur
de x dans 1 ( n 2 1) ; la suite (f,) converge uniformément vers O dans 1, mais l'intégrale J " : f n ( t ) dt = (Zn + 1)ln tend vers 2 lorsque n croît indéfiniment.
En d'autres termes, lorsque 1 est non borné, si on désigne par 9 l'espace vectoriel
formé des fonctions f réglées dans 1, à valeurs dans E, et admettant une intégrale
dans 1, l'application f i-t JI f ( t ) dt n'est pas continue lorsqu'on munit 9 de la topologie
de la convergence uniforme dans 1 (cf. II, p. 4, cor. 2).
Nous allons chercher des conditions su@antes pour assurer la validité de la
prop. 1, sous les hypothèses suivantes :
l o 1 est un intervalle quelconque de R, f, est réglée dans 1, et admet dans 1
une intégrale;
2 O suivant le filtre 8, la famille (f,) converge uniformément vers f dans tout
intervalle compact contenu dans 1.
Désignant alors par ~ ( 1 )
l'ensemble ordonné filtrant des intervalles compacts
contenus dans 1 (II, p. 15), le premier membre de la formule (1) de II, p. 19 peut
s'écrire limg (lim 1 f (t) dt) ; d'autre part compte tenu de la prop. 1 (II, p. 19)
J E R U )
et du fait que la famille (f,) est uniformément convergente dans tout
intervalle compact J c 1, le second membre de (1) (II, p. 19) peut s'écrire
lirn (lim8 JJ f,(t) dt). O n voit donc que la prop. 1 de 11, p. 19 s'étendra
J PU)
lorsquYon pourra intervertir les limites de l'application (J, a ) t-t j , f,(t) dt suivant le
filtre 8, et suivant le filtre des sections @ de l'ordonné filtrant !@(I).Or, nous
connaissons une condition su$sante pour que cette interversion soit licite, savoir