No 1
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR II. 19
PROPOSITION 1. - Soient A un ensemble filtré par un filtre 8, (f,),,, une famille de
fonctions réglées dans un intervalle compact 1 = (a, 6); si les fonctions fa convergent
miformément dans 1 uers une fonction (réglée) f suivant lejltre 8, on a
Deux corollaires de cette proposition sont importants dans les applications:
COROLLAIRE 1. -Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle compact
1 = (a, b). S i la suite ( f n ) converge uniformément dans 1 vers une fonction (réglée) f, on a
iim Jab fn(t) dt = 1 ; f ( t ) dt.
n-r a,
En particulier, si une série dont le terme général un est une fonction réglée
dans 1, converge uniformément vers f dans 1, la série de terme général J: un(t)dt est
convergente et a pour somme J : f ( t ) d t (G intégration terme à terme d'une série
uniformément convergente D) .
COROLLAIRE 2. - Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de
1 x A dans un espace normé complet E sur Pi, telle que, pour tout a E A, la fonction
x i-t f ( x , a ) soit réglée dans 1. Si les fonctions x tt f (x, a ) convergent uniformément dans
1 vers une fonction (réglée) x i-t f ( x ) , lorsque a tend uers un point a, E A en restant dans A,
on a
iim 1
: f ( x , a ) dx = 1 : g ( x ) dx.
t r - + a o , a e A
En particulier :
PROPOSITION 2 ((( continuité d'une intégrale par rapport au paramètre )>). - Soient
F un espace compact, 1 = (a, b) un intervalle compact de R, f une application continue de
1 x F dans un espace normé complet E sur R ; lafonction h ( ~ )
= Ji f (ct, X ) dx est continue
dans F.
En effet, comme f est uniformément continue dans l'espace compact 1 x F, les
fonctions f (a, x ) convergent uniformément vers f (x, a,) dans 1, lorsque u tend
vers un point quelconque ct, E F.
Voici une application de cette proposition: la fonction (x, a) H xa est continue
dans le produit 1 x J, où 1 = (a, b) est un intervalle compact tel que O < a < b, J un
intervalle compact quelconque dans R; on en conclut que l: xa dx est une fonction con- -
b a + l - a a + l
tinue de a dans R; or, pour a rationnel et # - 1, cette fonction est égale à
J et
a f l
b a + l - a a + l
la fonction cc H
est continue dans tout intervalle de R ne contenant
u + l
b a + i - a a + l
pas - 1 ; on a donc (prolongement des identités) xa dx =
pour tout a
a i - 1
réel et $ - 1 ; cela signifie encore que, pour tout a réel, la dérivée de xa est axa-l (cf.
III, p. 4).
INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
FVR II. 19
PROPOSITION 1. - Soient A un ensemble filtré par un filtre 8, (f,),,, une famille de
fonctions réglées dans un intervalle compact 1 = (a, 6); si les fonctions fa convergent
miformément dans 1 uers une fonction (réglée) f suivant lejltre 8, on a
Deux corollaires de cette proposition sont importants dans les applications:
COROLLAIRE 1. -Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle compact
1 = (a, b). S i la suite ( f n ) converge uniformément dans 1 vers une fonction (réglée) f, on a
iim Jab fn(t) dt = 1 ; f ( t ) dt.
n-r a,
En particulier, si une série dont le terme général un est une fonction réglée
dans 1, converge uniformément vers f dans 1, la série de terme général J: un(t)dt est
convergente et a pour somme J : f ( t ) d t (G intégration terme à terme d'une série
uniformément convergente D) .
COROLLAIRE 2. - Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de
1 x A dans un espace normé complet E sur Pi, telle que, pour tout a E A, la fonction
x i-t f ( x , a ) soit réglée dans 1. Si les fonctions x tt f (x, a ) convergent uniformément dans
1 vers une fonction (réglée) x i-t f ( x ) , lorsque a tend uers un point a, E A en restant dans A,
on a
iim 1
: f ( x , a ) dx = 1 : g ( x ) dx.
t r - + a o , a e A
En particulier :
PROPOSITION 2 ((( continuité d'une intégrale par rapport au paramètre )>). - Soient
F un espace compact, 1 = (a, b) un intervalle compact de R, f une application continue de
1 x F dans un espace normé complet E sur R ; lafonction h ( ~ )
= Ji f (ct, X ) dx est continue
dans F.
En effet, comme f est uniformément continue dans l'espace compact 1 x F, les
fonctions f (a, x ) convergent uniformément vers f (x, a,) dans 1, lorsque u tend
vers un point quelconque ct, E F.
Voici une application de cette proposition: la fonction (x, a) H xa est continue
dans le produit 1 x J, où 1 = (a, b) est un intervalle compact tel que O < a < b, J un
intervalle compact quelconque dans R; on en conclut que l: xa dx est une fonction con- -
b a + l - a a + l
tinue de a dans R; or, pour a rationnel et # - 1, cette fonction est égale à
J et
a f l
b a + l - a a + l
la fonction cc H
est continue dans tout intervalle de R ne contenant
u + l
b a + i - a a + l
pas - 1 ; on a donc (prolongement des identités) xa dx =
pour tout a
a i - 1
réel et $ - 1 ; cela signifie encore que, pour tout a réel, la dérivée de xa est axa-l (cf.
III, p. 4).