FVR 11.18
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
5 3
3. Intégrales absolument convergentes
DÉFINITION 2. - On dit que l'intégrale d'une fonction f réglée dans un intervalle 1 c R
est absolument convergente, si l'intégrale de la fonction positive Ilf (x) / I est convergente.
PROPOSITION 4. - Si l'intégrale de f dans 1 est absolument convergente, elle est convergente,
et on a
En effet, pour tout intervalle compact J c 1, on a (II, p. 12, formule (16))
Si l'intégrale de la fonction positive Il£ (x) I I est convergente, pour tout E > 0,
il existe un intervalle compact (a, p) contenu dans 1, tel que, pour tout intervalle
compact (x, y) contenu dans 1 et n'ayant aucun point intérieur commun avec
(M, P), on ait Jz Ilf(t) dtll < E (II, p. 16, prop. 1); on en tire I l / : f(t) dt(l 6 E, ce
qui démontre la convergence de l'intégrale dans 1 (II, p. 16, prop. 1) ; en passant à la limite dans (3), on en déduit alors l'intégalité (2).
COROLLAIRE. - Soient E, F, G trois espaces normés complets sur R, (x, y) tt [x . y] une
application bilinéaire continue de E x F dans G. Soient f, g deux fonctions réglées dans 1, à
valeurs dans E et dans F respectivement. Si f est bornée dans 1 et si l'intégrale de g dans 1
est absolument convergente, l'intégrale de [f. g] dans 1 est absolument convergente.
En effet, il existe un nombre h > O tel que l'on ait identiquement
II[x.y]II < hllxII. IIyII (TG, IX, P. 35, th. 1) ; si on pose = sup ] I f (x) 11,
x E i
on a donc ( 1 [f (x) . g(x)] 11 6 hkj(g(x) ( 1 dans 1; le principe de comparaison montre
donc que l'intégrale de [f. g] dans 1 est absolument convergente, et on a, d'après (2),
Remarque. - Une intégrale peut être convergente sans l'être absolument; c'est
ce que montre l'Exemple 3 de II, p. 14, lorsque la série de terme général un est
convergente sans être absolument convergente.
5 3. DERIVÉES ET INTEGRALES DE FONCTIONS
DEPENDANT D'UN PARAMÈTRE
1. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle compact
Le th. 1 de II, p. 2, appliqué au cas particulier des primitives de fonctions
réglées dans un intervalle compact, se traduit de la manière suivante dans la
notation propre aux intégrales :
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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3. Intégrales absolument convergentes
DÉFINITION 2. - On dit que l'intégrale d'une fonction f réglée dans un intervalle 1 c R
est absolument convergente, si l'intégrale de la fonction positive Ilf (x) / I est convergente.
PROPOSITION 4. - Si l'intégrale de f dans 1 est absolument convergente, elle est convergente,
et on a
En effet, pour tout intervalle compact J c 1, on a (II, p. 12, formule (16))
Si l'intégrale de la fonction positive Il£ (x) I I est convergente, pour tout E > 0,
il existe un intervalle compact (a, p) contenu dans 1, tel que, pour tout intervalle
compact (x, y) contenu dans 1 et n'ayant aucun point intérieur commun avec
(M, P), on ait Jz Ilf(t) dtll < E (II, p. 16, prop. 1); on en tire I l / : f(t) dt(l 6 E, ce
qui démontre la convergence de l'intégrale dans 1 (II, p. 16, prop. 1) ; en passant à la limite dans (3), on en déduit alors l'intégalité (2).
COROLLAIRE. - Soient E, F, G trois espaces normés complets sur R, (x, y) tt [x . y] une
application bilinéaire continue de E x F dans G. Soient f, g deux fonctions réglées dans 1, à
valeurs dans E et dans F respectivement. Si f est bornée dans 1 et si l'intégrale de g dans 1
est absolument convergente, l'intégrale de [f. g] dans 1 est absolument convergente.
En effet, il existe un nombre h > O tel que l'on ait identiquement
II[x.y]II < hllxII. IIyII (TG, IX, P. 35, th. 1) ; si on pose = sup ] I f (x) 11,
x E i
on a donc ( 1 [f (x) . g(x)] 11 6 hkj(g(x) ( 1 dans 1; le principe de comparaison montre
donc que l'intégrale de [f. g] dans 1 est absolument convergente, et on a, d'après (2),
Remarque. - Une intégrale peut être convergente sans l'être absolument; c'est
ce que montre l'Exemple 3 de II, p. 14, lorsque la série de terme général un est
convergente sans être absolument convergente.
5 3. DERIVÉES ET INTEGRALES DE FONCTIONS
DEPENDANT D'UN PARAMÈTRE
1. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle compact
Le th. 1 de II, p. 2, appliqué au cas particulier des primitives de fonctions
réglées dans un intervalle compact, se traduit de la manière suivante dans la
notation propre aux intégrales :