No 2
INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
FVR II. 17
l'ensemble des nombres fJ f (t) dt soit majoré, lorsque J parcourt I'ensemble des interualles
compacts contenus dans I ; l'intégrale 1
: f (t) dt est alors la borne supérieure de l'ensemble des
JJ f (4 dt.
En effet, comme f 3 0, la relation J c J' entraîne
SJ f (t) dt 6 SJ, f (t) dt;
l'application J ++ fJ f (t) dt est donc croissante, et la proposition est une conséquence du théorème de la limite monotone (TG, IV, p. 18, th. 2).
Lorsque l'application J F+ 1, f ( t ) dt n'est pas bornée, elle a pour limite + co
suivant l'ordonné filtrant L(1); on dit alors, par abuse de langage, que l'intégrale Sa f (t) dt est égale à + W . Les propriétés dcs intégrales établies au no 1
s'étendent (lorsqu'il s'agit de fonctions 3 0) au cas où certaines des intégrales
qui interviennent dans ces propriétés sont infinies, pourvu que les relations où
elles figurent gardent un sens.
PROPOSITION 3 (principe de comparaison). - Soient f et g deux fonction.^ numériques
réglées dans un interualle 1 c R, telles que O 6 f (x) 6 g(x) en tout point où f et g sont
continues (cf. II, p. 11, prop. 6). Si l'intégrale de g dans 1 est convergente, il en est de
même de l'intégrale de f et on a 1, f (t) dt 6 JI g(t) dt. En outre les deux intégrales ne
peuuent être égales que si f (x) = g(x) en tout point de 1 où f et g sont continues.
En efict, pour tout intervalle compact J c 1, on a
comme JJ g(t) dt $ JI g(t) dt, l'intégrale f (t) dt est majorée, donc l'intégrale
f, f (1) dt est convcrgentc; en outre, en passant à la limite, on a fI f (t) dt < g(t)dt.
Supposons en outre que f (x) < g(x) en un point x E 1 où f et g sont continues; il
existe un intervalle compact (c, d) contenu dans 1, non réduit à un point et tel
que x E [G, dl; on a J : f (t) dt < 1: g(t) dt (II, p. I l , cor. l), et commc d'autre
part J ' , C f (t) dt $ J: g(t) dt et f(l)dt 6 fi g(t) dt d'après ce qui précèdc, on voit,
en ajoutant membre à membre, qu'on a 1; f (t) dt < J": g (t) dt.
Cette proposition fournit le moyen le plus fréquemment employé pour dCcidcr
si une intégrale d'une fonction f 3 O est ou non convergente, en comflarant f à une
fonction plus simple g 3 0, dont on sait déjà si son intégrale est ou non convergente; nous verrons au chap. V comment peut se fairc, dans les cas les plus usuels,
la rccherche de ces fonctions de comparaison, et nous en déduirons les critères
d'application courante pour la convergence dcs intégrales et des séries.
INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
FVR II. 17
l'ensemble des nombres fJ f (t) dt soit majoré, lorsque J parcourt I'ensemble des interualles
compacts contenus dans I ; l'intégrale 1
: f (t) dt est alors la borne supérieure de l'ensemble des
JJ f (4 dt.
En effet, comme f 3 0, la relation J c J' entraîne
SJ f (t) dt 6 SJ, f (t) dt;
l'application J ++ fJ f (t) dt est donc croissante, et la proposition est une conséquence du théorème de la limite monotone (TG, IV, p. 18, th. 2).
Lorsque l'application J F+ 1, f ( t ) dt n'est pas bornée, elle a pour limite + co
suivant l'ordonné filtrant L(1); on dit alors, par abuse de langage, que l'intégrale Sa f (t) dt est égale à + W . Les propriétés dcs intégrales établies au no 1
s'étendent (lorsqu'il s'agit de fonctions 3 0) au cas où certaines des intégrales
qui interviennent dans ces propriétés sont infinies, pourvu que les relations où
elles figurent gardent un sens.
PROPOSITION 3 (principe de comparaison). - Soient f et g deux fonction.^ numériques
réglées dans un interualle 1 c R, telles que O 6 f (x) 6 g(x) en tout point où f et g sont
continues (cf. II, p. 11, prop. 6). Si l'intégrale de g dans 1 est convergente, il en est de
même de l'intégrale de f et on a 1, f (t) dt 6 JI g(t) dt. En outre les deux intégrales ne
peuuent être égales que si f (x) = g(x) en tout point de 1 où f et g sont continues.
En efict, pour tout intervalle compact J c 1, on a
comme JJ g(t) dt $ JI g(t) dt, l'intégrale f (t) dt est majorée, donc l'intégrale
f, f (1) dt est convcrgentc; en outre, en passant à la limite, on a fI f (t) dt < g(t)dt.
Supposons en outre que f (x) < g(x) en un point x E 1 où f et g sont continues; il
existe un intervalle compact (c, d) contenu dans 1, non réduit à un point et tel
que x E [G, dl; on a J : f (t) dt < 1: g(t) dt (II, p. I l , cor. l), et commc d'autre
part J ' , C f (t) dt $ J: g(t) dt et f(l)dt 6 fi g(t) dt d'après ce qui précèdc, on voit,
en ajoutant membre à membre, qu'on a 1; f (t) dt < J": g (t) dt.
Cette proposition fournit le moyen le plus fréquemment employé pour dCcidcr
si une intégrale d'une fonction f 3 O est ou non convergente, en comflarant f à une
fonction plus simple g 3 0, dont on sait déjà si son intégrale est ou non convergente; nous verrons au chap. V comment peut se fairc, dans les cas les plus usuels,
la rccherche de ces fonctions de comparaison, et nous en déduirons les critères
d'application courante pour la convergence dcs intégrales et des séries.