FVR 11.16
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
§ 2
PROPOSITI~N 1 (Critère de Cauchy pour les intégrales). - Soit f une fonction réglée
dans un intervalle 1 c , de bornes a et 6 (a < b) . Pour que l'intégrale 1; f ( t ) dt existe, il
faut et il s u i t que pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO = [a, P) contenu
dans 1, tel que pour tout intervalle compact K = (x, y) contem dans 1, et n'ayant aucun
point intérieur commun avec JO, on ait 111, f ( t ) dt 1 1 6 E .
En effet, comme E est complet, le critère de Cauchy montre que, pour que
l'intégrale SI f ( t ) dt soit convergente, il b u t et il sufit que, pour tout E > O, il
existe un intervalle compact JO = [a, P) tel que, pour tout intervalle compact J
tel que JO c J c 1, on ait 111, f (t) dt - lJo f ( t ) dtll 6 E. La proposition résultera
donc du lemme suivant:
Lemme. -Soit JO = (a, P) un intervalle compact contenu dans 1. Pour qu'on ait
I I 1, f ( t ) dt - S, , f ( t ) dtll 6 E, pour tout couple d'intervalles compacts J , J' contenus dans 1
et contenant J,, il faut que 111, f ( t ) dtll < E, et il sufit que j / ! , f ( t ) dtjl 6 ~ 1 2 ,
pour
tout interualle comnfiact K contenu dans 1 el n'ayant aucun point intérieur commun auec JO.
En effet, si pourJO c J c 1 etJO c J' c 1, on a
on voit en particulier que, pour x 6 y 6 or, ou pour P < x 6 y ( x et y dans I), on a
111; f ( t ) dtll 6 E. Inversement, si / I 1, f ( t ) dt 1 1 < ~ / 2
pour tout intervalle compact
K c I tel que K n JO = a, et si J = (x, y), J' = (2, t ) sont deux intervalles
compacts contenus dans I et contenant JO, on a
puisque
x 6 a G P G y et z < a < p < t .
Exemfile. - Si l'intervalle 1 est borné, et si f est bornée dans 1, l'intégrale J", f (t)dt existe
toujours, car d'après le th. de la moyenne, on a pour y < CL < P < z
I I 1
: f ( t ) dt / / < ( a - a) JUP If (x) II, I I 1; f (t) dt I I G (b - P) SUP If ( x ) Il
X E 1
X E 1
et il sufit de prendre cc - a et b - P asscz petits pour que le critère de Cauchy soit
satisfait.
On notera que, dans ce cas, une primitive de f dans 1 n'a pas nécessairement de
dérivée à droite (resp. à gauche) 2 l'origine (resp. l'extrémité) de 1 (lorsque ce
nombre est fini) contraircment à ce qui a lieu lorsque 1 est compact et f réglée dans 1
(cf. II, p. 33, excrc. 1).
2. Intégrales de fonctions positives dans un intervalle non compact
PROPOSITION 2. - Soit f une fonction numérique réglée et 3 O dans un intervalle 1 c R,
de bornes a et b (a < b). Pour que l'intégrale 1 ; f ( t ) dt existe, il faut et il s u i t que
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
§ 2
PROPOSITI~N 1 (Critère de Cauchy pour les intégrales). - Soit f une fonction réglée
dans un intervalle 1 c , de bornes a et 6 (a < b) . Pour que l'intégrale 1; f ( t ) dt existe, il
faut et il s u i t que pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO = [a, P) contenu
dans 1, tel que pour tout intervalle compact K = (x, y) contem dans 1, et n'ayant aucun
point intérieur commun avec JO, on ait 111, f ( t ) dt 1 1 6 E .
En effet, comme E est complet, le critère de Cauchy montre que, pour que
l'intégrale SI f ( t ) dt soit convergente, il b u t et il sufit que, pour tout E > O, il
existe un intervalle compact JO = [a, P) tel que, pour tout intervalle compact J
tel que JO c J c 1, on ait 111, f (t) dt - lJo f ( t ) dtll 6 E. La proposition résultera
donc du lemme suivant:
Lemme. -Soit JO = (a, P) un intervalle compact contenu dans 1. Pour qu'on ait
I I 1, f ( t ) dt - S, , f ( t ) dtll 6 E, pour tout couple d'intervalles compacts J , J' contenus dans 1
et contenant J,, il faut que 111, f ( t ) dtll < E, et il sufit que j / ! , f ( t ) dtjl 6 ~ 1 2 ,
pour
tout interualle comnfiact K contenu dans 1 el n'ayant aucun point intérieur commun auec JO.
En effet, si pourJO c J c 1 etJO c J' c 1, on a
on voit en particulier que, pour x 6 y 6 or, ou pour P < x 6 y ( x et y dans I), on a
111; f ( t ) dtll 6 E. Inversement, si / I 1, f ( t ) dt 1 1 < ~ / 2
pour tout intervalle compact
K c I tel que K n JO = a, et si J = (x, y), J' = (2, t ) sont deux intervalles
compacts contenus dans I et contenant JO, on a
puisque
x 6 a G P G y et z < a < p < t .
Exemfile. - Si l'intervalle 1 est borné, et si f est bornée dans 1, l'intégrale J", f (t)dt existe
toujours, car d'après le th. de la moyenne, on a pour y < CL < P < z
I I 1
: f ( t ) dt / / < ( a - a) JUP If (x) II, I I 1; f (t) dt I I G (b - P) SUP If ( x ) Il
X E 1
X E 1
et il sufit de prendre cc - a et b - P asscz petits pour que le critère de Cauchy soit
satisfait.
On notera que, dans ce cas, une primitive de f dans 1 n'a pas nécessairement de
dérivée à droite (resp. à gauche) 2 l'origine (resp. l'extrémité) de 1 (lorsque ce
nombre est fini) contraircment à ce qui a lieu lorsque 1 est compact et f réglée dans 1
(cf. II, p. 33, excrc. 1).
2. Intégrales de fonctions positives dans un intervalle non compact
PROPOSITION 2. - Soit f une fonction numérique réglée et 3 O dans un intervalle 1 c R,
de bornes a et b (a < b). Pour que l'intégrale 1 ; f ( t ) dt existe, il faut et il s u i t que