No 1
INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
FVR 11.15
converge dans E, on a lim u n = O; or, si n < x < n + 1, on a J," f (t) dt =
n+ w
n - 1
m
2 up + un(x - n), donc cette intégrale a pour limite 2 u n lorsque x tend
p = l
n = l
vers +o.
Il est immédiat que si une fonction f réglée par morceaux admet une intégrale
dans 1, les formules (4) à (9) de II, p. 9 sont encore valables. De même, la
formule (10) de II, p. 10 s'étend de la façon suivante: f et g sont supposées être des
primitives de fonctions f', g' réglées dans )a, b(, et on désigne par [f.g] 1
; la
limite (si elle existe) de [f. g] I :
, lorsque (x, y) tendvers (a, 6) (avec a < x < y < b) ;
alors, si deux des expressions [f. g] la, J": [f(t) . g1(t) Idt, J: [f '(t) . g(t)] dt ont un
sens, il en cst de même de la troisième, et la formule (10) de II, p. 10 subsiste.
Enfin, soit f une fonction numérique définie et continue dans 1 = )a, b(,
primitive d'une fonction f' réglée dans )a, b(; soit d'autre part g une fonction
vectorielle continue dans un intervalle ouvcrt J contenant f (1) ; si la fonction
g ( f (x)) f '(x) admet une intégrale dans 1, et si f tcnd vers une limite (finie ou
non) aux points a et 6, g admet une intégralc de f ( a + ) à f (b-), et on a la
formule
En effet, si (x, y) tend vers (a, O), (f (x), f (y)) tend vers (f (a + ), f (b - )) par
hypothèse; il suffit donc d'appliquer la formule (12) de II, p. 11 entre x et y et de
passer à la limitc pour avoir (1).
Etant donnée une fonction f réglée dans un intervalle non compact 1 c R,
d'extrémités a et b (a < b), la condition pour que f a i t une intégrale dans 1 peut
se présenter de la manière suivante. Les intervalles compacts J c 1 forment un
ensemble ordonnéjltrant %(I) pour la relation c (l), car si (a, P) et (y, 6) sont deux
intervalles compacts contenus dans 1, et si on pose A = min(or, Y), p = max(p, a),
l'intervalle (A, p) est contenu dans 1 et contient les deux intervalles considérés.
Pour tout intervalle compact J = (cc, fi) contenu dans 1, posons alors
SJ f(t) dt = SaR f(t) dt;
pour que f admette une intégrale dans 1, il faut et il suffit que l'application
J H f (t) dt ait une limite dam E suivant l'en~emble ordonnéjltrant P(1) ; cette limite
est alors l'intégrale 1; f(t) dt, que nous noterons encore J", f (t) dt.
l Rappelons (E, III, p. 12) qu'un ensemble 8 de parties de 1 est jltrant pour la relation c si,
quels que soient X E 8, Y E 8 il existe Z E 8 tel que X c Z et Y c Z. Si S(X) désigne la partie de 8
formée des Y E 8 tels que U 3 X, les S(X) forment la base d'un filtre sur 8, ditjiltre des sections de 8 ;
la limite (si elle existc) d'une application f de 8 dans un espace topologique, suivant le filtre des
sections de 8, est encore dite limite de f suivant l'ordonnéjiltrant 5 (cf. TG, 1, p. 49 et TG, IV, p. 18).
INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
FVR 11.15
converge dans E, on a lim u n = O; or, si n < x < n + 1, on a J," f (t) dt =
n+ w
n - 1
m
2 up + un(x - n), donc cette intégrale a pour limite 2 u n lorsque x tend
p = l
n = l
vers +o.
Il est immédiat que si une fonction f réglée par morceaux admet une intégrale
dans 1, les formules (4) à (9) de II, p. 9 sont encore valables. De même, la
formule (10) de II, p. 10 s'étend de la façon suivante: f et g sont supposées être des
primitives de fonctions f', g' réglées dans )a, b(, et on désigne par [f.g] 1
; la
limite (si elle existe) de [f. g] I :
, lorsque (x, y) tendvers (a, 6) (avec a < x < y < b) ;
alors, si deux des expressions [f. g] la, J": [f(t) . g1(t) Idt, J: [f '(t) . g(t)] dt ont un
sens, il en cst de même de la troisième, et la formule (10) de II, p. 10 subsiste.
Enfin, soit f une fonction numérique définie et continue dans 1 = )a, b(,
primitive d'une fonction f' réglée dans )a, b(; soit d'autre part g une fonction
vectorielle continue dans un intervalle ouvcrt J contenant f (1) ; si la fonction
g ( f (x)) f '(x) admet une intégrale dans 1, et si f tcnd vers une limite (finie ou
non) aux points a et 6, g admet une intégralc de f ( a + ) à f (b-), et on a la
formule
En effet, si (x, y) tend vers (a, O), (f (x), f (y)) tend vers (f (a + ), f (b - )) par
hypothèse; il suffit donc d'appliquer la formule (12) de II, p. 11 entre x et y et de
passer à la limitc pour avoir (1).
Etant donnée une fonction f réglée dans un intervalle non compact 1 c R,
d'extrémités a et b (a < b), la condition pour que f a i t une intégrale dans 1 peut
se présenter de la manière suivante. Les intervalles compacts J c 1 forment un
ensemble ordonnéjltrant %(I) pour la relation c (l), car si (a, P) et (y, 6) sont deux
intervalles compacts contenus dans 1, et si on pose A = min(or, Y), p = max(p, a),
l'intervalle (A, p) est contenu dans 1 et contient les deux intervalles considérés.
Pour tout intervalle compact J = (cc, fi) contenu dans 1, posons alors
SJ f(t) dt = SaR f(t) dt;
pour que f admette une intégrale dans 1, il faut et il suffit que l'application
J H f (t) dt ait une limite dam E suivant l'en~emble ordonnéjltrant P(1) ; cette limite
est alors l'intégrale 1; f(t) dt, que nous noterons encore J", f (t) dt.
l Rappelons (E, III, p. 12) qu'un ensemble 8 de parties de 1 est jltrant pour la relation c si,
quels que soient X E 8, Y E 8 il existe Z E 8 tel que X c Z et Y c Z. Si S(X) désigne la partie de 8
formée des Y E 8 tels que U 3 X, les S(X) forment la base d'un filtre sur 8, ditjiltre des sections de 8 ;
la limite (si elle existc) d'une application f de 8 dans un espace topologique, suivant le filtre des
sections de 8, est encore dite limite de f suivant l'ordonnéjiltrant 5 (cf. TG, 1, p. 49 et TG, IV, p. 18).