FVR 11.14
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
§ 2
pour O Q i Q 12 - 1, est continue en tout point de 1 distinct des ci et admet une
limite en chacun de ces points; elle peut donc être prolongée par continuité en
chacun des ci, et la fonction prolongée est évidemment une primitive de f dans 1.
Il est clair en outre que toute autre primitive de f est de la forme g + a (a
élément de E) .
DÉFINITION 1. - On dit qu'une fonction vectorielle f réglée par morceaux dans un intervalle (a, b[ de R admet une intégrale dans cet intervalle si f admet une primitive dans (a, b);
si g est une quelconque desprimitives de f dans (a, b], x, et x deux points quelconques de [a, b),
on appelle intégrale de f de x, à x, et on note lzo f (t) dt l'élément g(x) - g(xo).
Cette notion coïncide évidemment avec celle définie lorsque l'intervalle
(x,, x) ne contient aucun des points c,.
Les remarques qui précèdent la dé[. 1 montrent que, pour que f ait une
intégrale dans )a, b(, il faut et il suffit que sa restriction à chacun des intervalles
)c,, ci+ ,( admette une intégrale dans cet intervalle. Autrement dit, on est ramené
au cas où f est réglée dans un intervalle non compact I c R, d'extrémités a, 6
(a < b), et où: lo ou bien un des nombres a, b (au moins) est infini; 2 O ou bien f
n'est pas réglée dans un intervalle compact contenant au moins un des points
a, b (les deux hypothèses ne s'excluant pas mutuellement). Pour que f a i t une
intégrale dans 1, il faut et il suffit alors quc l'intégrale 1 : f(t)dt tende vers une
limite lorsque le point (x, y) tend vers (a, b) E E2 en rcstant dans 1 x 1, et cette
limite n'est autre que f(t)dt d'après la déf. 1. Par abus de langage, au lieu de
dire que f a une intégrale dans 1, on dit encore que l'intégrale 1; f(t)dt est
convergente.
Exemfiles. - 1) L'intégrale S: " (lt/t2 est convergente et égale à 1, car
2) L'intégrale
u't/dtest convergente et égale à 2, car
3) Soit (u,),,, une suite infinie de points de E, et soit f la fonction en
escalicr définic dans l'intervalle (1, + a ( par les coiiditions: f (x) = u, pour
n < x < n + 1. Pour que l'intégrale S :
" f (t)dt soit convergente, il faut et il
suffit que la série de terme général ai, soit convergente dans E; cn effet, on a
donc la condition est nécessaire; réciproquement, si la série de terme général un
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
§ 2
pour O Q i Q 12 - 1, est continue en tout point de 1 distinct des ci et admet une
limite en chacun de ces points; elle peut donc être prolongée par continuité en
chacun des ci, et la fonction prolongée est évidemment une primitive de f dans 1.
Il est clair en outre que toute autre primitive de f est de la forme g + a (a
élément de E) .
DÉFINITION 1. - On dit qu'une fonction vectorielle f réglée par morceaux dans un intervalle (a, b[ de R admet une intégrale dans cet intervalle si f admet une primitive dans (a, b);
si g est une quelconque desprimitives de f dans (a, b], x, et x deux points quelconques de [a, b),
on appelle intégrale de f de x, à x, et on note lzo f (t) dt l'élément g(x) - g(xo).
Cette notion coïncide évidemment avec celle définie lorsque l'intervalle
(x,, x) ne contient aucun des points c,.
Les remarques qui précèdent la dé[. 1 montrent que, pour que f ait une
intégrale dans )a, b(, il faut et il suffit que sa restriction à chacun des intervalles
)c,, ci+ ,( admette une intégrale dans cet intervalle. Autrement dit, on est ramené
au cas où f est réglée dans un intervalle non compact I c R, d'extrémités a, 6
(a < b), et où: lo ou bien un des nombres a, b (au moins) est infini; 2 O ou bien f
n'est pas réglée dans un intervalle compact contenant au moins un des points
a, b (les deux hypothèses ne s'excluant pas mutuellement). Pour que f a i t une
intégrale dans 1, il faut et il suffit alors quc l'intégrale 1 : f(t)dt tende vers une
limite lorsque le point (x, y) tend vers (a, b) E E2 en rcstant dans 1 x 1, et cette
limite n'est autre que f(t)dt d'après la déf. 1. Par abus de langage, au lieu de
dire que f a une intégrale dans 1, on dit encore que l'intégrale 1; f(t)dt est
convergente.
Exemfiles. - 1) L'intégrale S: " (lt/t2 est convergente et égale à 1, car
2) L'intégrale
u't/dtest convergente et égale à 2, car
3) Soit (u,),,, une suite infinie de points de E, et soit f la fonction en
escalicr définic dans l'intervalle (1, + a ( par les coiiditions: f (x) = u, pour
n < x < n + 1. Pour que l'intégrale S :
" f (t)dt soit convergente, il faut et il
suffit que la série de terme général ai, soit convergente dans E; cn effet, on a
donc la condition est nécessaire; réciproquement, si la série de terme général un