No 1
INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
FVR 11.13
seconde de f. Plus généralement, on appelle primitive d'ordre n de f une primitive
d'une primitive d'ordre n - 1 de f. On voit aussitôt, par récurrence sur n, que la
différence de deux primitives d'ordre n de f est un polynôme de degré au plus égal à
n - 1 (àcoefficients dansE) . Une primitive d'ordre n de f est entièrement déterminée
si on se donne, en un point a E 1, sa valeur et celles de ses n - 1 premières dérivées.
On désignera en particulier par la notation 1
: i- celle des primitives d'ordre n
de f qui est nulle au point a ainsi que ses n - 1 premières dérivées. La formule de
Taylor d'ordre n - 1, appliquée à cette primitive, montre que si g = 1
: f, on a
et ramène la détermination des primitives d'ordre n au calcul d'une seule intégrale.
5 2. INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
1. Définition d'une intkgrale dans un intervalle non compact
Soit 1 un intervalle compact (a, b) de la droit^ achevée (a et b pouvant donc être
infinis) ; soit f une fonction définie dans )a, b(, prenant ses valcurs dans un espace
normé complet E sur R. Généralisant la déf. I de II, p. 1, nous dirons qu'une
fonction g, définie dans [a, b), à valeurs dans E, est une primitiue de f si elle est
continue dans (a, b) (et en particulier aux extrémités a, b) et admet une dérivée
égale à f (x) cn tous les points du complémentaire par rapport à Ba, b( d'une
partie dénombrable de cet intervalle.
Nous allons nous borner à considérer le cas suivant: il existe une suite finie
strictement croissante (c,), ,,,, de points de I = (a, b), telle que c, = a, c, = 6,
et que f soit réglée dans chacun des intervalles ouverts )c,, c, + ,(, mais non réglée
dans tout intervalle ouvert contenant au moins un point c, intérieur à 1; une telle
fonction sera dite régléepar morceaux dans )a, b(. On notera qu'une fonction réglée
dans )a, b( est réglée par morceaux (en prenant n = 1 dans la définition précédente).
Si f admct une primitive g dans 1 (au sens précisé ci-dessus), et si a cst un
point de l'intervalle Bc,, c,+,( (O < i < n - 1), on a, par hypothèse, pour tout x
appartenant à cet intervalle, g(x) - $(a) = lz f ( t ) d t ; g étant continue dans 1 par
hypothèse, on voit que
f(t)dt doit tendre vers une limite dans E lorsque x
tend vers c, à droite et lorsque x tend vers c,,, à gauche. Inversement, supposons
que ces conditions soient vérifiées pour tout t, et soit gt une primitive de f dans
l'intervalle )ci, c,+,( (O < i < n - 1); on constate aussitôt que la fonction g,
définie dans le complémentaire par rapport à I de l'ensemble des c,, par la
i
condition d'être à égale à gi(x) + *Zl (gk- l(ck -) - g k ( i +)) dans )ci,ci+,(
INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
FVR 11.13
seconde de f. Plus généralement, on appelle primitive d'ordre n de f une primitive
d'une primitive d'ordre n - 1 de f. On voit aussitôt, par récurrence sur n, que la
différence de deux primitives d'ordre n de f est un polynôme de degré au plus égal à
n - 1 (àcoefficients dansE) . Une primitive d'ordre n de f est entièrement déterminée
si on se donne, en un point a E 1, sa valeur et celles de ses n - 1 premières dérivées.
On désignera en particulier par la notation 1
: i- celle des primitives d'ordre n
de f qui est nulle au point a ainsi que ses n - 1 premières dérivées. La formule de
Taylor d'ordre n - 1, appliquée à cette primitive, montre que si g = 1
: f, on a
et ramène la détermination des primitives d'ordre n au calcul d'une seule intégrale.
5 2. INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS
1. Définition d'une intkgrale dans un intervalle non compact
Soit 1 un intervalle compact (a, b) de la droit^ achevée (a et b pouvant donc être
infinis) ; soit f une fonction définie dans )a, b(, prenant ses valcurs dans un espace
normé complet E sur R. Généralisant la déf. I de II, p. 1, nous dirons qu'une
fonction g, définie dans [a, b), à valeurs dans E, est une primitiue de f si elle est
continue dans (a, b) (et en particulier aux extrémités a, b) et admet une dérivée
égale à f (x) cn tous les points du complémentaire par rapport à Ba, b( d'une
partie dénombrable de cet intervalle.
Nous allons nous borner à considérer le cas suivant: il existe une suite finie
strictement croissante (c,), ,,,, de points de I = (a, b), telle que c, = a, c, = 6,
et que f soit réglée dans chacun des intervalles ouverts )c,, c, + ,(, mais non réglée
dans tout intervalle ouvert contenant au moins un point c, intérieur à 1; une telle
fonction sera dite régléepar morceaux dans )a, b(. On notera qu'une fonction réglée
dans )a, b( est réglée par morceaux (en prenant n = 1 dans la définition précédente).
Si f admct une primitive g dans 1 (au sens précisé ci-dessus), et si a cst un
point de l'intervalle Bc,, c,+,( (O < i < n - 1), on a, par hypothèse, pour tout x
appartenant à cet intervalle, g(x) - $(a) = lz f ( t ) d t ; g étant continue dans 1 par
hypothèse, on voit que
f(t)dt doit tendre vers une limite dans E lorsque x
tend vers c, à droite et lorsque x tend vers c,,, à gauche. Inversement, supposons
que ces conditions soient vérifiées pour tout t, et soit gt une primitive de f dans
l'intervalle )ci, c,+,( (O < i < n - 1); on constate aussitôt que la fonction g,
définie dans le complémentaire par rapport à I de l'ensemble des c,, par la
i
condition d'être à égale à gi(x) + *Zl (gk- l(ck -) - g k ( i +)) dans )ci,ci+,(