FVR 11.12
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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COROLLAIRE 2. - Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans 1, telles que
g(x) 2 O aux points où g est continue; si m et M sont les bornes inférieure et supérieure
de f dans l'ensemble des Points de 1 O& f est continue, on a
Les deux premiers membres (resp. les deux derniers) ne sont égaux que si
g(x) ( J ( x ) - m) = O (resp. g(x) ( f (x) - M ) = O) en toutpoint o.& f et g sont continues.
Pour les fonctions vectorielles, le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 2)
donne de même la proposition suivante :
PROPOSITION 7. - Soit f une fonction veclorielle r&lée dans un intervalle compact 1 =
[a, b], à valeurs dans un espace normé complet E, et soitg une fonction numérique réglée dans 1,
telle que g(x) 2 O aux points où g est continue; dans ces conditions, on a
En particulier, on a
6. Forme intégrale du reste de la formule de Taylor; primitives d'ordre supérieur
La formule d'intégration par parties d'ordre n (II, p. 10, formule (1 1 ) ) permet
d'exprimer sous forme d'une intégrale le reste r,(x) du développement de Taylor
d'ordre n d'une fonction f admettant une dérivée (r,+ 1)-ème réglée dans un
intervalle 1 (1, p. 30) ; en effet, en remplaçant, dans (12), f par f', b par x et g(t)
par la fonction ( t - ~ ) ~ / n
!, il vient
( x - t ) n
+ sax f" + l) ( t ) -T dt
autrement dit
( x - t)n
Pn+ l) ( t ) -
n !
dt
formule qui permet souvent d'obtenir des majorations simples du reste.
Étant donnée une fonction f réglée dans un intervalle 1, une primitive quelconque g de f, étant continue dans 1, admet à son tour une primitive; une
quelconque des primitives d'une primitive quelconque de f est appelée primitive