No 5
PRIMITNES ET INTÉGRALES
FVR II. 1 1
désigne une primitive quelconque de g dans J, h admet en tout point de J une
dérivée égale à g (II, p. 6, prop. 3) ; donc la fonction composée h of admet une
dérivée égale à g( f (x)) f '(x) en tous les points du complémentaire (par rapport
à 1) d'une partie dénombrable de 1 (1, p. 17, prop. 5); comme la fonction
g ( f (x)) f '(x) est réglée (II, p. 7, cor 2), on peut écrire la formule
dite formule du changement de variables, qui facilite également le calcul des primitives.
Si on prend par exemple f (x) = x2, on voit que la formule (13) ramène l'un à
l'autre le calcul des primitives des fonctions g(x) et xg(xa).
Pour traduire le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 1) pour les primitives
de fonctions numériques réglées, remarquons d'abord qu'une fonction numérique
réglée f dans un intervalle compact 1 est bornée dans 1; soit J l'ensemble des
points de 1 où f est continue, et posons m = inf f (x), M = sup f (x); on sait
X E J
x e J
(II, p. 5, th. 3) que 1 n CJ est dénombrable; en outre, si B est le complémentaire,
par rapport à 1, d'une partie dénombrable quelconque de 1, et m' = inf f (x),
X E B
M' = sup f (x), on a m' < m < M < M': en effet, en tout point x E J, il existe
X E B
des points y de B arbitrairement voisins de x, où on a donc m' < f (y) < M'; f
étant continue au point x, on voit, en faisant tendre y vers x (y restant dans B) que
m' < f (x) < M', ce qui démontre notre assertion. Cela étant, la traduction du
th. des accroissements finis donne la proposition suivante :
PROPOSITION 6 (théorème de la moyenne). -Soit f une fonction numérique réglée
dans un interualle compact 1 = (a, b); si J est l' ensemble des points de 1 où f est continue, et
m = inf f (x), M = sup f (x), ona
x e J
x e J
sauf lorsque f est constante dans J, auquel cas les trois membres de (14) sont égaux.
En d'autres termes, la moyenne de la fonction réglée f dans 1 est comprise entre les
bornes de f dans la partie de 1 où f est continue.
COROLLAIRE 1. - Si une fonction numérique f réglée dans 1 est telle que f (x) O aux
1
b
points où f est continue, on a -
a - A
g (t) dt > O sauf si f (x) = O aux points ouf est
continue.
PRIMITNES ET INTÉGRALES
FVR II. 1 1
désigne une primitive quelconque de g dans J, h admet en tout point de J une
dérivée égale à g (II, p. 6, prop. 3) ; donc la fonction composée h of admet une
dérivée égale à g( f (x)) f '(x) en tous les points du complémentaire (par rapport
à 1) d'une partie dénombrable de 1 (1, p. 17, prop. 5); comme la fonction
g ( f (x)) f '(x) est réglée (II, p. 7, cor 2), on peut écrire la formule
dite formule du changement de variables, qui facilite également le calcul des primitives.
Si on prend par exemple f (x) = x2, on voit que la formule (13) ramène l'un à
l'autre le calcul des primitives des fonctions g(x) et xg(xa).
Pour traduire le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 1) pour les primitives
de fonctions numériques réglées, remarquons d'abord qu'une fonction numérique
réglée f dans un intervalle compact 1 est bornée dans 1; soit J l'ensemble des
points de 1 où f est continue, et posons m = inf f (x), M = sup f (x); on sait
X E J
x e J
(II, p. 5, th. 3) que 1 n CJ est dénombrable; en outre, si B est le complémentaire,
par rapport à 1, d'une partie dénombrable quelconque de 1, et m' = inf f (x),
X E B
M' = sup f (x), on a m' < m < M < M': en effet, en tout point x E J, il existe
X E B
des points y de B arbitrairement voisins de x, où on a donc m' < f (y) < M'; f
étant continue au point x, on voit, en faisant tendre y vers x (y restant dans B) que
m' < f (x) < M', ce qui démontre notre assertion. Cela étant, la traduction du
th. des accroissements finis donne la proposition suivante :
PROPOSITION 6 (théorème de la moyenne). -Soit f une fonction numérique réglée
dans un interualle compact 1 = (a, b); si J est l' ensemble des points de 1 où f est continue, et
m = inf f (x), M = sup f (x), ona
x e J
x e J
sauf lorsque f est constante dans J, auquel cas les trois membres de (14) sont égaux.
En d'autres termes, la moyenne de la fonction réglée f dans 1 est comprise entre les
bornes de f dans la partie de 1 où f est continue.
COROLLAIRE 1. - Si une fonction numérique f réglée dans 1 est telle que f (x) O aux
1
b
points où f est continue, on a -
a - A
g (t) dt > O sauf si f (x) = O aux points ouf est
continue.