FVR 11.10
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
$ 1
Soient E, F deux espaces normés complets sur R, u une application linéaire
continue de E dans F. Si f est une fonction réglée dans 1, à valeurs dans E, u o f
est une fonction réglée dans 1, à valeurs dans F (II, p. 6, cor. 2), et on a (1, p. 13,
Prop. 2)
(9)
1; ~ ( f
(t)) dt = u (J: f(t) dt).
Soient maintenant E, F, G trois espaces normés complets sur R, (x, y) H [x . y]
une application bilinéaire continue de E x F dans G. Soient f et g deux fonctions
vectorielles définies et continues dans 1, prenant leurs valeurs dans E et F respectivement; supposons en outre que f et g soient toutes deux primitives de
fonctions réglées, que nous désignerons par f' et g' par abus de langage (ces
fonctions ne sont en effet égales respectivement aux dérivées de f et g
qu'aux points du complémentaire d'un ensemble dénombrable). D'après
la prop. 3 de 1, p. 14, la fonction h(x) = [f (x) .g(x)] admet en tout point
du complémentaire d'une partie dénombrable de 1, une dérivée égale à
[f (x) . g' (x)] + [f '(x) . g(x)]. Or, d'après la continuité de [x .y] et le cor. 2
de II, p. 7, chacune des fonctions [f. g'] et [f' . g] est une fonction réglée dans;
1 on a donc la formule
dite formule d'integration par parties, qui permet de calculer de nombreuses primitives
Par exemple, la formule d'intégration par parties donne la formule suivante
et ramène donc l'un à l'autre le calcul des primitives des deux fonctions f(x) et
xf' (2).
De même, si f et g sont n fois dérivables dans un intervalle 1, et si f(n) et g(n)
sont des fonctions réglées dans 1, la formule ( 5 ) de 1, p. 29 équivaut à la suivante :
( i l )
[f("'(t).g(t)]dt
a
n- 1
p = o
(t) . g")(t)]) 1
: + ( - 1)" Sb [f (t) . gCn'(t)] dt
a
qu'on appelle formule d'intégration par parties d'ordre n.
Traduisons maintenant la formule de dérivation des fonctions composées
(1, p. 17, prop. 5). Soit f une fonction numérique définie et continue dans 1, et qui
soit primitive d'une fonction réglée dans 1 (que nous écrirons encore f' par abus
de langage) ; soit d'autre part g une fonction vectorielle (à valeurs dans un espace normé complet) continue dans un intervalle ouvert J contenant f (1) ; si h
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
$ 1
Soient E, F deux espaces normés complets sur R, u une application linéaire
continue de E dans F. Si f est une fonction réglée dans 1, à valeurs dans E, u o f
est une fonction réglée dans 1, à valeurs dans F (II, p. 6, cor. 2), et on a (1, p. 13,
Prop. 2)
(9)
1; ~ ( f
(t)) dt = u (J: f(t) dt).
Soient maintenant E, F, G trois espaces normés complets sur R, (x, y) H [x . y]
une application bilinéaire continue de E x F dans G. Soient f et g deux fonctions
vectorielles définies et continues dans 1, prenant leurs valeurs dans E et F respectivement; supposons en outre que f et g soient toutes deux primitives de
fonctions réglées, que nous désignerons par f' et g' par abus de langage (ces
fonctions ne sont en effet égales respectivement aux dérivées de f et g
qu'aux points du complémentaire d'un ensemble dénombrable). D'après
la prop. 3 de 1, p. 14, la fonction h(x) = [f (x) .g(x)] admet en tout point
du complémentaire d'une partie dénombrable de 1, une dérivée égale à
[f (x) . g' (x)] + [f '(x) . g(x)]. Or, d'après la continuité de [x .y] et le cor. 2
de II, p. 7, chacune des fonctions [f. g'] et [f' . g] est une fonction réglée dans;
1 on a donc la formule
dite formule d'integration par parties, qui permet de calculer de nombreuses primitives
Par exemple, la formule d'intégration par parties donne la formule suivante
et ramène donc l'un à l'autre le calcul des primitives des deux fonctions f(x) et
xf' (2).
De même, si f et g sont n fois dérivables dans un intervalle 1, et si f(n) et g(n)
sont des fonctions réglées dans 1, la formule ( 5 ) de 1, p. 29 équivaut à la suivante :
( i l )
[f("'(t).g(t)]dt
a
n- 1
p = o
(t) . g")(t)]) 1
: + ( - 1)" Sb [f (t) . gCn'(t)] dt
a
qu'on appelle formule d'intégration par parties d'ordre n.
Traduisons maintenant la formule de dérivation des fonctions composées
(1, p. 17, prop. 5). Soit f une fonction numérique définie et continue dans 1, et qui
soit primitive d'une fonction réglée dans 1 (que nous écrirons encore f' par abus
de langage) ; soit d'autre part g une fonction vectorielle (à valeurs dans un espace normé complet) continue dans un intervalle ouvert J contenant f (1) ; si h