No 5
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
FVR 11.9
Remarques. - 2) Pour une fonction quelconque h définie dans 1, à valeurs
dans E, l'élément h ( x ) - h(x,) s'écrit aussi h ( t ) ]go; avec cette notation, on voit
que, si g est une primitive quelconque de la fonction réglée f dans 1, on a
3) Les expressions Co f (t) dt, g ( t ) /go sont des (( symboles abréviateurs )> représentant
des assemblages dans lesquels figurent les lettres x, x,, f, g, mais non la lettre t (cf. E,
1, p. 14); on dit que dans ces symboles, t est une « variable muette )>; on peut donc y
remplacer t par tout autre argument distinct de x, xo, f et g (et des arguments qui
entrent kentuellement dans la démonstration où figurent de tels symboles) sans
changer le sens du symbole obtenu (le lecteur comparera ces symboles à des symboles tels que i$l xi, " X,, où i est de même une variable muette).
4) L'approximation d'une intégrale par des sommes de Riemann se rattache
étroitement à l'une des origines historiques de la notion d'intégrale, le problème de
la mesure des aires. Nous reviendrons sur ce point au Livre d'Intégration qui est
consacré aux généralisations de la notion d'intégrale auxquelles a conduit ce problème; dans ces généralisations, les fonctions (< intégrées )) ne sont plus nécessairement définies dans une partie de R; d'autre part, même lorsqu'il s'agit de fonctions
numériques f d'une variable réelle (non nécessairement réglées) pour lesquelles on
peut définir une intégrale Co f (t) dt, la fonction x H JXo f (t) dt n'est pas toujours
une primitive de f, et il existe des fonctions ayant une primitive, mais non <( intégrables au sens auquel nous faisons allusion.
5. Propriétés des intégrales
Les propriétés des intégrales des fonctions réglées ne sont autres que la traduction,
dans la notation qui leur est propre, des propriétés des dérivées démontrées au
chap. 1.
En premier lieu, la formule (3) montre que, quels que soient les points x, y, z
de 1, on a
1; f (t) dt = O
D'après la prop. 1 de II, p. 2, on a
et pour tout scalaire k
S., = Sxo
f
-
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
FVR 11.9
Remarques. - 2) Pour une fonction quelconque h définie dans 1, à valeurs
dans E, l'élément h ( x ) - h(x,) s'écrit aussi h ( t ) ]go; avec cette notation, on voit
que, si g est une primitive quelconque de la fonction réglée f dans 1, on a
3) Les expressions Co f (t) dt, g ( t ) /go sont des (( symboles abréviateurs )> représentant
des assemblages dans lesquels figurent les lettres x, x,, f, g, mais non la lettre t (cf. E,
1, p. 14); on dit que dans ces symboles, t est une « variable muette )>; on peut donc y
remplacer t par tout autre argument distinct de x, xo, f et g (et des arguments qui
entrent kentuellement dans la démonstration où figurent de tels symboles) sans
changer le sens du symbole obtenu (le lecteur comparera ces symboles à des symboles tels que i$l xi, " X,, où i est de même une variable muette).
4) L'approximation d'une intégrale par des sommes de Riemann se rattache
étroitement à l'une des origines historiques de la notion d'intégrale, le problème de
la mesure des aires. Nous reviendrons sur ce point au Livre d'Intégration qui est
consacré aux généralisations de la notion d'intégrale auxquelles a conduit ce problème; dans ces généralisations, les fonctions (< intégrées )) ne sont plus nécessairement définies dans une partie de R; d'autre part, même lorsqu'il s'agit de fonctions
numériques f d'une variable réelle (non nécessairement réglées) pour lesquelles on
peut définir une intégrale Co f (t) dt, la fonction x H JXo f (t) dt n'est pas toujours
une primitive de f, et il existe des fonctions ayant une primitive, mais non <( intégrables au sens auquel nous faisons allusion.
5. Propriétés des intégrales
Les propriétés des intégrales des fonctions réglées ne sont autres que la traduction,
dans la notation qui leur est propre, des propriétés des dérivées démontrées au
chap. 1.
En premier lieu, la formule (3) montre que, quels que soient les points x, y, z
de 1, on a
1; f (t) dt = O
D'après la prop. 1 de II, p. 2, on a
et pour tout scalaire k
S., = Sxo
f
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