FVR 11.8
PRIMITIVES ET I N T ~ G R A L E S
$ 1
que 2m intervalles au plus dans lesquels f ne soit pas constante; or, dans un tel
intervalle (xi, xi + ,), on a
en désignant par M la borne supérieure de llf 1 1 dans (x,, x); au contraire, lorsque
f est constante dans (xi, xi +1), on a
n-1
On voit donc que la différence /Ig(x) - g(x,) - , f(t,) (xi+, - xi) l/ ne peut
z=o
excéder 4Mmp; il suffit donc de prendre p < ~/4Mm pour obtenir (1).
Remarque - 1.) Lorsque f est continue, la prop. 5 se démontre plus simplement : comme
f est uniformément continue dans (x,, x), il existe p > O tel que dans tout intervalle de
longueur < p contenu dans (xo, x), l'oscillation de f soit < -A; pour toute subx - X,,
division de (x,, x) en intervalles (xi, xi+l) de longueur < p, et tout choix de t, dans
(xi, xi+l) pour O < i < n - 1 , la fonction e n escalier f , égale à f (t,) dans (xi, xi +1(
(O < i < n - 1 ) , à f ( x ) au point x, est telle que Ilf(y) - f l ( y ) 1 1 < - .
!
- .
-
dans
X - Xo
n - 1
(x,, x ) ; si g1 est une primitive d e fl, o n a g1 ( x ) - gl (x,) = 2 f (t,) (xi + - xi), donc la
i=o
relation ( 1 ) résulte aussitôt de l'application d u th. des accroissements finis.
Dans tout le reste de ce chapitre, nous allons nous borner à l'étude des
primitives des fonctions réglées dans un intervalle 1. Pour une telle fonction f, à
valeurs dans E, une primitive g de f, et deux points quelconques x,, x de 1,
l'élément g(x) - g(x,) de E (qui évidemment est le même, quelle que soit la
primitive g de f que l'on considère) est appelé intégrale de la fonction f de x, à x
(ou dans Z' interualle compact (x,, x)) et noté
f (t)dt ou Jzo f. Ce nom et cette notation ont leur origine dans la prop. 5 de II, p. 7, qui montre qu'une intégrale peut
être approchée arbitrairement par une somme de Riemann; plus particulièrement, on peut, en prenant des subdivisions de (x,, x) en intervalles égaux, écrire
1
Autrement dit, l'élément - I',; f(t)dt est limite de la moyenne arithmétique
X - Xo
des valeurs de f aux origines des intervalles d'une subdivision de (x,, x) en intervalles égaux; aussi l'appelle-t-on encore la moyenne (ou valeur moyenne) de la
fonction f dans l'intervalle (x,, x).
Par définition, la fonction x H f (t) dt n'est autre que la primitive de f
qui s'annule au point x, E 1; aussi la note-t-on encore lxo f (t) dt ou Lo f.
PRIMITIVES ET I N T ~ G R A L E S
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que 2m intervalles au plus dans lesquels f ne soit pas constante; or, dans un tel
intervalle (xi, xi + ,), on a
en désignant par M la borne supérieure de llf 1 1 dans (x,, x); au contraire, lorsque
f est constante dans (xi, xi +1), on a
n-1
On voit donc que la différence /Ig(x) - g(x,) - , f(t,) (xi+, - xi) l/ ne peut
z=o
excéder 4Mmp; il suffit donc de prendre p < ~/4Mm pour obtenir (1).
Remarque - 1.) Lorsque f est continue, la prop. 5 se démontre plus simplement : comme
f est uniformément continue dans (x,, x), il existe p > O tel que dans tout intervalle de
longueur < p contenu dans (xo, x), l'oscillation de f soit < -A; pour toute subx - X,,
division de (x,, x) en intervalles (xi, xi+l) de longueur < p, et tout choix de t, dans
(xi, xi+l) pour O < i < n - 1 , la fonction e n escalier f , égale à f (t,) dans (xi, xi +1(
(O < i < n - 1 ) , à f ( x ) au point x, est telle que Ilf(y) - f l ( y ) 1 1 < - .
!
- .
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dans
X - Xo
n - 1
(x,, x ) ; si g1 est une primitive d e fl, o n a g1 ( x ) - gl (x,) = 2 f (t,) (xi + - xi), donc la
i=o
relation ( 1 ) résulte aussitôt de l'application d u th. des accroissements finis.
Dans tout le reste de ce chapitre, nous allons nous borner à l'étude des
primitives des fonctions réglées dans un intervalle 1. Pour une telle fonction f, à
valeurs dans E, une primitive g de f, et deux points quelconques x,, x de 1,
l'élément g(x) - g(x,) de E (qui évidemment est le même, quelle que soit la
primitive g de f que l'on considère) est appelé intégrale de la fonction f de x, à x
(ou dans Z' interualle compact (x,, x)) et noté
f (t)dt ou Jzo f. Ce nom et cette notation ont leur origine dans la prop. 5 de II, p. 7, qui montre qu'une intégrale peut
être approchée arbitrairement par une somme de Riemann; plus particulièrement, on peut, en prenant des subdivisions de (x,, x) en intervalles égaux, écrire
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Autrement dit, l'élément - I',; f(t)dt est limite de la moyenne arithmétique
X - Xo
des valeurs de f aux origines des intervalles d'une subdivision de (x,, x) en intervalles égaux; aussi l'appelle-t-on encore la moyenne (ou valeur moyenne) de la
fonction f dans l'intervalle (x,, x).
Par définition, la fonction x H f (t) dt n'est autre que la primitive de f
qui s'annule au point x, E 1; aussi la note-t-on encore lxo f (t) dt ou Lo f.