No 4
PRIMITIVES ET INTEGRALES
FVR 11.7
dans toute partie compacte de U, admet une primitive dans U; ces fonctions ne sont
autres que les fonctions dites holomorphes dans U, que nous étudierons plus en détail
dans un Livre ultérieur.
PROPOSITION 4. - Toute fonction numérique f monotone dans un intervalle 1 c IR est
réglée, et tauteprimitive de f est convexe dans 1.
En effet, f satisfait au critère du th. 3 de TG, IV, p. 19, prop 4; la seconde
partie de la proposition résulte cor. 1 , de II, p. 6, et de la prop. 5 de 1, p. 36.
Remarque - 4.) II ne faudrait pas croire que les fonctions rtglées dans un intervalle
1 soient les seules fonctions ayant une primitive dans 1 (cf. II, p. 29, exerc. 7 et 8).
4. Intégrales
Nous avons obtenu (II, p. 5, th. 2) une primitive d'une fonction réglée dans un
intervalle 1 comme limite uniforme de primitives de fonctions en escalier. Ce
procédé peut s'exprimer de façon legèrement différente: soient x,, x deux points
quelconques de 1 tels que x, < x; appelons subdivision de l'intervalle [x,, x) toute
suite d'intervalles (xi, x, + ,) de réunion (xo, x), où (xi) , , ,, est une suite strictement croissante de points de [x,, x) telIe que xn = x. Nous appellerons somme de
Riemann relative à une fonction vectorielle f définie dans 1, et à la subdivision
n - 1
formée des (xi, xi + ,) toute expression de la forme 2 f (t,) (xi - x) où t, appari = O
tient à (xi, xi + ,) pour O < i < n - 1. On a alors la proposition suivante:
PROPOSITION 5. - Soient f une fonction réglée dans un interualle 1, g une primitive de f
dans 1, (x,, x) un intervalle compact contenu dans 1. Pour tout E > O, il existe un nombre
p > O tel que, pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p, on ait
pour toute somme de Riemann relative à cette subdivision.
En effet, soit f une fonction en escalier telle que Il f ( y ) - f1 (y) I/ < s pour tout
y E (x,, x ) ; on a, en désignant par g, une primitive de f1 dans 1,
d'après le th. des accroissements finis, et d'autre part
Il suffit donc de démontrer la proposition lorsque f est une fonction en escalier.
Soit
< k G m la suite finie strictement croissante des points de discontinuité de f
dans (xo, XI. Pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p,
chacun des points y, appartient à deux intervalles au plus; il ne peut donc y avoir
PRIMITIVES ET INTEGRALES
FVR 11.7
dans toute partie compacte de U, admet une primitive dans U; ces fonctions ne sont
autres que les fonctions dites holomorphes dans U, que nous étudierons plus en détail
dans un Livre ultérieur.
PROPOSITION 4. - Toute fonction numérique f monotone dans un intervalle 1 c IR est
réglée, et tauteprimitive de f est convexe dans 1.
En effet, f satisfait au critère du th. 3 de TG, IV, p. 19, prop 4; la seconde
partie de la proposition résulte cor. 1 , de II, p. 6, et de la prop. 5 de 1, p. 36.
Remarque - 4.) II ne faudrait pas croire que les fonctions rtglées dans un intervalle
1 soient les seules fonctions ayant une primitive dans 1 (cf. II, p. 29, exerc. 7 et 8).
4. Intégrales
Nous avons obtenu (II, p. 5, th. 2) une primitive d'une fonction réglée dans un
intervalle 1 comme limite uniforme de primitives de fonctions en escalier. Ce
procédé peut s'exprimer de façon legèrement différente: soient x,, x deux points
quelconques de 1 tels que x, < x; appelons subdivision de l'intervalle [x,, x) toute
suite d'intervalles (xi, x, + ,) de réunion (xo, x), où (xi) , , ,, est une suite strictement croissante de points de [x,, x) telIe que xn = x. Nous appellerons somme de
Riemann relative à une fonction vectorielle f définie dans 1, et à la subdivision
n - 1
formée des (xi, xi + ,) toute expression de la forme 2 f (t,) (xi - x) où t, appari = O
tient à (xi, xi + ,) pour O < i < n - 1. On a alors la proposition suivante:
PROPOSITION 5. - Soient f une fonction réglée dans un interualle 1, g une primitive de f
dans 1, (x,, x) un intervalle compact contenu dans 1. Pour tout E > O, il existe un nombre
p > O tel que, pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p, on ait
pour toute somme de Riemann relative à cette subdivision.
En effet, soit f une fonction en escalier telle que Il f ( y ) - f1 (y) I/ < s pour tout
y E (x,, x ) ; on a, en désignant par g, une primitive de f1 dans 1,
d'après le th. des accroissements finis, et d'autre part
Il suffit donc de démontrer la proposition lorsque f est une fonction en escalier.
Soit
< k G m la suite finie strictement croissante des points de discontinuité de f
dans (xo, XI. Pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p,
chacun des points y, appartient à deux intervalles au plus; il ne peut donc y avoir