FVR 11.6
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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(TG, X, p. 8, cor. 1) ; mais comme g , est continue sauf aux points d'un cnsemble
fini H,, f est continue aux points du complémcntairc de l'ensemble H = IJ H,,
n
qui est dénombrable.
COROLLAIRE 1. - Soit f une fonction réglée dans 1; en tout point de 1, saflf l'extrémité
(resp. l'origine) de 1, toute primitive de f a une dérivée à droite égale à f (x + ) (resp. une
dérivée à gauche égale à f ( x - )) ; en particulier, en tout point x où f est continue, f ( x ) est
la dérivée d'une quelconque de ses prinzitives.
C'est une conséquence immédiate du th. 3 ct de la prop. 6 de 1, p. 22 de I I ,
p. 5.
COROLLAIRE 2. --Soient f, (1 d i 6 n ) n fonctions réglées dans un intervalle 1, f,
prenant ses valeurs dans un espace normé complet Ei sur W. ( 1 6 i 6 n). S i g est une
n
n
-
applcation continue du sous-espace
4 (1) de Ei dans un espnce normé complet F sur R,
i = ï
z = 1
la fonction composée x H g ( f , ( x ) , f2 (x) , . . . , P,(x)) est réglée dans 1.
En effet, elle satisfait de façon évidente aux conditions d~a th. 3 de I I , p. 5.
On voit ainsi que si f est une fonction vectorielle réglée dans 1, la fonction
numérique x t> Ijf (x) / I est aussi réglée. De mème, les fonctions numériques réglées
dans 1 forment un anneau; en outre, si f et g sont deux fonctions numériques
réglées, sup(.h g) et inf (f, g) sont réglées.
Remarque - 1.) Si f est une fonction numérique réglée dans 1, g une fonction vectorielle réglée dans un intervalle contenant f (I), la fonction composée g oJnYest pas
nécessairement réglée (cf. II, p. 29, exerc. 4).
Deux cas particuliers du th. 3 de I I , p. 5 sont spécialement importants:
PROPOSITION 3. - Toute fonction vectorielle continue dans un intervalle 1 c
ses ualeurs dans un espace nornzé complet E sur , est réglée et admet dans 1 une primitive,
dont elle est la dérivée en tout point.
Remarques - 2.) Pour démontrer qu'une fonction continue admet une primitive,
on peut utiliser le fait que tout polynôme (à coefficients dans E) d'une variable réelle
admet une primitive; comme d'après le th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3)
toute fonction continue cst limite unifornie de polynômes dans tout intervalle compact, le th. 1 de II, p. 2 montre que toute fonction continue admet une primitive.
3) Le principe de la remarque précédente s'étend sans modification importante
aux fonctions vectorielles d'une variable complexe, à valeurs dans un espace normé
complet sur 6. Si U est un ensemble ouvert dans C , homéomorphe à C , une primitive
d'une telle fonction vectorielle % definie dans U est par définition une fonction continue dans U, ayant une dérivée égale à f en tout point de U. Avec cette définition,
le th. 1 de II, p. 2 s'étend sans modirication (on démontre en effet, en tenant compte
de ce que U est connexe, que (g,) est uniformément convergente suivant 3 dans un
voisinage de toüt point de U, d'où résulte que (gU) est uniformément convergente
suivant $ dans toute partie compactc de U; la fin de la démonstration se fait en utilisant !a prop. 4 de 1, p. 26). Par suite, toute fonction qui est limite uniforme de polynûmes
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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(TG, X, p. 8, cor. 1) ; mais comme g , est continue sauf aux points d'un cnsemble
fini H,, f est continue aux points du complémcntairc de l'ensemble H = IJ H,,
n
qui est dénombrable.
COROLLAIRE 1. - Soit f une fonction réglée dans 1; en tout point de 1, saflf l'extrémité
(resp. l'origine) de 1, toute primitive de f a une dérivée à droite égale à f (x + ) (resp. une
dérivée à gauche égale à f ( x - )) ; en particulier, en tout point x où f est continue, f ( x ) est
la dérivée d'une quelconque de ses prinzitives.
C'est une conséquence immédiate du th. 3 ct de la prop. 6 de 1, p. 22 de I I ,
p. 5.
COROLLAIRE 2. --Soient f, (1 d i 6 n ) n fonctions réglées dans un intervalle 1, f,
prenant ses valeurs dans un espace normé complet Ei sur W. ( 1 6 i 6 n). S i g est une
n
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-
applcation continue du sous-espace
4 (1) de Ei dans un espnce normé complet F sur R,
i = ï
z = 1
la fonction composée x H g ( f , ( x ) , f2 (x) , . . . , P,(x)) est réglée dans 1.
En effet, elle satisfait de façon évidente aux conditions d~a th. 3 de I I , p. 5.
On voit ainsi que si f est une fonction vectorielle réglée dans 1, la fonction
numérique x t> Ijf (x) / I est aussi réglée. De mème, les fonctions numériques réglées
dans 1 forment un anneau; en outre, si f et g sont deux fonctions numériques
réglées, sup(.h g) et inf (f, g) sont réglées.
Remarque - 1.) Si f est une fonction numérique réglée dans 1, g une fonction vectorielle réglée dans un intervalle contenant f (I), la fonction composée g oJnYest pas
nécessairement réglée (cf. II, p. 29, exerc. 4).
Deux cas particuliers du th. 3 de I I , p. 5 sont spécialement importants:
PROPOSITION 3. - Toute fonction vectorielle continue dans un intervalle 1 c
ses ualeurs dans un espace nornzé complet E sur , est réglée et admet dans 1 une primitive,
dont elle est la dérivée en tout point.
Remarques - 2.) Pour démontrer qu'une fonction continue admet une primitive,
on peut utiliser le fait que tout polynôme (à coefficients dans E) d'une variable réelle
admet une primitive; comme d'après le th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3)
toute fonction continue cst limite unifornie de polynômes dans tout intervalle compact, le th. 1 de II, p. 2 montre que toute fonction continue admet une primitive.
3) Le principe de la remarque précédente s'étend sans modification importante
aux fonctions vectorielles d'une variable complexe, à valeurs dans un espace normé
complet sur 6. Si U est un ensemble ouvert dans C , homéomorphe à C , une primitive
d'une telle fonction vectorielle % definie dans U est par définition une fonction continue dans U, ayant une dérivée égale à f en tout point de U. Avec cette définition,
le th. 1 de II, p. 2 s'étend sans modirication (on démontre en effet, en tenant compte
de ce que U est connexe, que (g,) est uniformément convergente suivant 3 dans un
voisinage de toüt point de U, d'où résulte que (gU) est uniformément convergente
suivant $ dans toute partie compactc de U; la fin de la démonstration se fait en utilisant !a prop. 4 de 1, p. 26). Par suite, toute fonction qui est limite uniforme de polynûmes