No 3
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
FVR 11.5
vectoriel de e ( I ; E) et comme &(I: E) est complet, il en est de même de 2 ;
autrement dit, si une fonction est dans toute partie compacte de 1 limite uniforme de fonctions réglées, elle est réglée dans 1. Pour que f soit réglée dans un
ptervalle 1, il faut et il suffit que sa restriction à tout intervalle compact contenu
dans 1 soit réglée.
Le cor. 1 de II, p. 3 montre que:
THÉORÈME 2. - Toute fonction réglée dans un intervalle 1 admet une primitive dans 1.
Nous allons transformer la déf. 3 de II, p. 4 en une autre équivalente :
THÉORÈME 3. -Pour qu' une fonction vectorielle f d@nie dans un intervalle 1, à valeurs
dans un espace normé complet E sur R, soit réglée, il faut et il su$t qu'elle ait une limite à
droite et une limite à gauche en tout point intérieur à 1, une limite à droite à l'origine de 1 et
une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces points appartiennent à 1. L' ensemble des
points de discontinuité de f dans 1 est alors dénombrable.
Comme tout intervalle 1 est réunion dénombrable d'intervalles compacts, on
peut se borner à démontrer le th. 3 lorsque 1 est compact, soit 1 = (a, 6).
l o La condition est nécessaire. Supposons en effet que f soit réglée, et soit x un
point de 1 distinct de b. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe une fonction en
escalier g telle que jlf (z) - g(z) / I < E pour tout z E 1; comme g admet une limite
à droite au point x, il existe y tel que x < y < b et tel que, pour tout couple
de points z, z' de l'intervalle )x, y), on ait llg(z) - g(zl) 1 1 < E et par suite
llf (z) - f (2') I I < 3 ~ ;
cela prouve (critère de Cauchy) que f a une limite à droite
au point x. On montre de méme que f a une limite à gauche en tout point de 1 distinct de a.
2 O La condition est su$sante. Supposons-la remplie; pour tout x E 1, il existe
un intervalle ouvert V, = )c,, dx( contenant x et tel que dans l'intersection de 1 et
de chacun des intervalles ouverts (c,, x( , )x, dx( (lorsque cette intersection n'est
pas vide), l'oscillation de f soit < E. Comme 1 est compact, il existe un nombre
fini de points x, de 1 tels que les V,, forment un recouvrement de 1; soit (a,), , , ,
la suite obtenue en rangeant dans l'ordre croissant les points de l'ensemble fini
formé de a, b et des points xi, c, , et d,, qui appartiennent à 1; chacun des intervalles )a,, a,+,( (O < k < n - 1) égant contenu dans un intervalle )cx,, xi( ou
)xi, dxi(, l'oscillation de f y est < E ; soit c, une des valeurs de f dans )a,, a,+,(;
en posant g(a,) = f (a,) pour O < k < n, et g(x) = c, pour tout x E )a,, a,+,(
(O < k < n - l), on définit une fonction en escalier g telle que Ilf (z) - g (z) I I < E
dans 1 ; donc f est réglée dans 1.
Montrons enfin que si f est réglée dans 1, l'ensemble de ses points de discontinuité est dénombrable. Pour tout n > O, il existe une fonction en escalier g,
telle que lIf (x) - g,(x) I I < l/n dans 1; comme la suite (g,) converge uniformément vers f dans 1, f est continue en tout point où les g, sont toutes continues
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
FVR 11.5
vectoriel de e ( I ; E) et comme &(I: E) est complet, il en est de même de 2 ;
autrement dit, si une fonction est dans toute partie compacte de 1 limite uniforme de fonctions réglées, elle est réglée dans 1. Pour que f soit réglée dans un
ptervalle 1, il faut et il suffit que sa restriction à tout intervalle compact contenu
dans 1 soit réglée.
Le cor. 1 de II, p. 3 montre que:
THÉORÈME 2. - Toute fonction réglée dans un intervalle 1 admet une primitive dans 1.
Nous allons transformer la déf. 3 de II, p. 4 en une autre équivalente :
THÉORÈME 3. -Pour qu' une fonction vectorielle f d@nie dans un intervalle 1, à valeurs
dans un espace normé complet E sur R, soit réglée, il faut et il su$t qu'elle ait une limite à
droite et une limite à gauche en tout point intérieur à 1, une limite à droite à l'origine de 1 et
une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces points appartiennent à 1. L' ensemble des
points de discontinuité de f dans 1 est alors dénombrable.
Comme tout intervalle 1 est réunion dénombrable d'intervalles compacts, on
peut se borner à démontrer le th. 3 lorsque 1 est compact, soit 1 = (a, 6).
l o La condition est nécessaire. Supposons en effet que f soit réglée, et soit x un
point de 1 distinct de b. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe une fonction en
escalier g telle que jlf (z) - g(z) / I < E pour tout z E 1; comme g admet une limite
à droite au point x, il existe y tel que x < y < b et tel que, pour tout couple
de points z, z' de l'intervalle )x, y), on ait llg(z) - g(zl) 1 1 < E et par suite
llf (z) - f (2') I I < 3 ~ ;
cela prouve (critère de Cauchy) que f a une limite à droite
au point x. On montre de méme que f a une limite à gauche en tout point de 1 distinct de a.
2 O La condition est su$sante. Supposons-la remplie; pour tout x E 1, il existe
un intervalle ouvert V, = )c,, dx( contenant x et tel que dans l'intersection de 1 et
de chacun des intervalles ouverts (c,, x( , )x, dx( (lorsque cette intersection n'est
pas vide), l'oscillation de f soit < E. Comme 1 est compact, il existe un nombre
fini de points x, de 1 tels que les V,, forment un recouvrement de 1; soit (a,), , , ,
la suite obtenue en rangeant dans l'ordre croissant les points de l'ensemble fini
formé de a, b et des points xi, c, , et d,, qui appartiennent à 1; chacun des intervalles )a,, a,+,( (O < k < n - 1) égant contenu dans un intervalle )cx,, xi( ou
)xi, dxi(, l'oscillation de f y est < E ; soit c, une des valeurs de f dans )a,, a,+,(;
en posant g(a,) = f (a,) pour O < k < n, et g(x) = c, pour tout x E )a,, a,+,(
(O < k < n - l), on définit une fonction en escalier g telle que Ilf (z) - g (z) I I < E
dans 1 ; donc f est réglée dans 1.
Montrons enfin que si f est réglée dans 1, l'ensemble de ses points de discontinuité est dénombrable. Pour tout n > O, il existe une fonction en escalier g,
telle que lIf (x) - g,(x) I I < l/n dans 1; comme la suite (g,) converge uniformément vers f dans 1, f est continue en tout point où les g, sont toutes continues