FVR 11.4
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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des fonctions appartenant à l'adhérence dans Fc(I; E) du sous-espace vectoriel
engendre par al. NOUS allons appliquer cette méthode au no suivant.
3. Fonctions réglées
DÉFINITION 2. - On dit qu'une application f d'un intervalle 1 c R dans un ensemble E
est une fonction en escalier s'il existe une partition de 1 en un nombre fini d'intervalles J , telle
que f soit constante dans chacun desJ,.
Soit (a,),,,,,
la suite strictement croissante formée des extrémités distinctes
des J,; comme les J, sont deux à deux sans point commun. chacun d'eux est,
soit réduit à un point a,, soit un intervalle ayant pour extrémités deux points
consécutifs ai, a,+l; en outre, comme 1 est réunion des J,, a, est l'origine, et a,
l'extrémité de 1. Toute fonction en escalier dans 1 peut donc êtrc caractérisée
comme une fonction constante dans chacun des intervalles ouvcris )a,, ai+l(
(O 6 i 6 n - 1)' (a,), , , ,, étant une suite strictement croissante de points de 1
telle que a, soit l'origine et a, l'extrémtié de 1.
PROPOSITION 2. -L'ensemble des fonctions en escalier déjinies dans 1, à valeurs dans un
espace vectoriel E sur , est un sous-espace vectoriel B de l'espace vectoriel F(1; E ) de toutes
les applications de 1 dans E.
En effet, soientfet g deux fonctions en escalier, (A,) et (B,) deux partitions dc
1 en un nombre fini d'intervalles telles que f (resp. g) soit constante dans chacun
des Ai (resp. Bi) ; quels que soient les nombres réels 1, p, il est clair que A f + pg
est constante dans chacun des intervalles non vides A, n Bf, et ces intervalles
forment une partition de 1.
COROLLAIRE. - Le sous-espace vectoriel G est engendré par les fonctions caractéristiques
d'intervalles.
Considérons maintenant le cas où E est un espace normé sur R; alors, il est
immédiat que la fonction caractéristique d'un intervalle J d'extrémités a, b (a < b)
admet une primitive, savoir la fonction égale à a pour x 6 a, à x pour a < x 6 b,
et à 6 pour x 3 b. Le cor. de la prop. 2 montre donc que toute fonction en escalier à
valeurs dans E admet une primitive.
Nous pouvons maintenant appliquer la méthode cxposée au no 2.
DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle, déjinie dans un intervalle 1, à valeurs
dans un espace normé complet E sur W, est une fonction réglée si, dans toute partie compacte de
1, elle est limite uniJorme de fonctions en escalier.
En d'autres termes, les fonctions réglées sont les éléments de l'adhérence dans
e(I; E) du sous-espace vectoriel 8, des fonctions en escalier; 2 est un sous-espace
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
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des fonctions appartenant à l'adhérence dans Fc(I; E) du sous-espace vectoriel
engendre par al. NOUS allons appliquer cette méthode au no suivant.
3. Fonctions réglées
DÉFINITION 2. - On dit qu'une application f d'un intervalle 1 c R dans un ensemble E
est une fonction en escalier s'il existe une partition de 1 en un nombre fini d'intervalles J , telle
que f soit constante dans chacun desJ,.
Soit (a,),,,,,
la suite strictement croissante formée des extrémités distinctes
des J,; comme les J, sont deux à deux sans point commun. chacun d'eux est,
soit réduit à un point a,, soit un intervalle ayant pour extrémités deux points
consécutifs ai, a,+l; en outre, comme 1 est réunion des J,, a, est l'origine, et a,
l'extrémité de 1. Toute fonction en escalier dans 1 peut donc êtrc caractérisée
comme une fonction constante dans chacun des intervalles ouvcris )a,, ai+l(
(O 6 i 6 n - 1)' (a,), , , ,, étant une suite strictement croissante de points de 1
telle que a, soit l'origine et a, l'extrémtié de 1.
PROPOSITION 2. -L'ensemble des fonctions en escalier déjinies dans 1, à valeurs dans un
espace vectoriel E sur , est un sous-espace vectoriel B de l'espace vectoriel F(1; E ) de toutes
les applications de 1 dans E.
En effet, soientfet g deux fonctions en escalier, (A,) et (B,) deux partitions dc
1 en un nombre fini d'intervalles telles que f (resp. g) soit constante dans chacun
des Ai (resp. Bi) ; quels que soient les nombres réels 1, p, il est clair que A f + pg
est constante dans chacun des intervalles non vides A, n Bf, et ces intervalles
forment une partition de 1.
COROLLAIRE. - Le sous-espace vectoriel G est engendré par les fonctions caractéristiques
d'intervalles.
Considérons maintenant le cas où E est un espace normé sur R; alors, il est
immédiat que la fonction caractéristique d'un intervalle J d'extrémités a, b (a < b)
admet une primitive, savoir la fonction égale à a pour x 6 a, à x pour a < x 6 b,
et à 6 pour x 3 b. Le cor. de la prop. 2 montre donc que toute fonction en escalier à
valeurs dans E admet une primitive.
Nous pouvons maintenant appliquer la méthode cxposée au no 2.
DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle, déjinie dans un intervalle 1, à valeurs
dans un espace normé complet E sur W, est une fonction réglée si, dans toute partie compacte de
1, elle est limite uniJorme de fonctions en escalier.
En d'autres termes, les fonctions réglées sont les éléments de l'adhérence dans
e(I; E) du sous-espace vectoriel 8, des fonctions en escalier; 2 est un sous-espace